Question

wie kann ich das Quadrat eines Skalarproduktes unter einer Summe umformen?

Ich meine folgenden Ausdruck:

∑ <x, v_i>² = ...         (bei dem Summenzeichen soll unten noch i = 1 und oben n stehen, aber keine Ahnung wie das hier geht)

könnte ich die Summe einfach ins Skalarprodukt zum v Verschieben?

Comments

Hier wäre der zugrunde liegende VR interessant.

---

Wir befinden uns im ℝⁿ

Answer 1

Hallo

 wenn die vi die Basis bilden ist <x,vi>=xi sonst kannst du nicht vereinfachen. oder was weisst du über die vi

Gruß lul

Comments

Hier einmal der Kontext der Aufgabe:

Beweisen Sie: Ist v₁, v₂, ..., v_n eine Orthonormalbasis von ℝⁿ, dann gilt:

          ||x||² = ∑ <x,v_i>²

für alle x ∈ ℝⁿ.

---

Hallo

 dann hast du ja mit meiner Erklärung den Betrag da stehen. da das Skalarprodukt ja die Komponente in Richtung der vi die orthonormal sind.

---

Wenn die \( v_j \) mit \( j=1, ... n \) eine Orthonormalbasis sind, gibt es \( \alpha_j \in \mathbb{R} \) mit $$ x = \sum_{j=1}^n \alpha_j v_j $$

Daraus folgt $$  v_i^T x = \sum_{j=1}^n \alpha_j v_i^T v_j = \sum_{j=1}^n \alpha_j \delta_{ij} = \alpha_i $$

also $$ x = \sum_{j=1}^n \left( v_j^T x \right) v_j $$ und deshalb

$$ \| x \|^2 = x^T x = \sum_{i=1}^n \left( v_i^T x \right) v_i^T \cdot \sum_{i=1}^n \left( v_i^T x \right) v_i  = \sum_{i,j=1}^n \left( v_i^T x \right) v_i^T \left( v_j^T x \right) v_j = \sum_{i,j=1}^n \left( v_i^T x \right) \delta_{ij} \left( v_j^T x \right) = \sum_{i=1}^n \left( v_i^T x \right)^2 $$

---

Danke für deine Antwort, kurz mal dumm gefragt, das hochgestellte T bezeichnet den Vektor je transponiert, oder wie habe ich das zu verstehen?

---

Ja das ist das Transponiertzeichen. Es gilt für das Skalarprodukt \( < x , y > = x^Ty \)

Beispiel im \( \mathbb{R}^2 \) \( <x,x> = \| x \|^2 = x^T x = x_1^2 + x_2^2 \)

---

okay, vielen Dank!

Answer 2

$$ \sum_{i=1}^n \left( x^T v_i \right)^2 = \sum_{i=1}^n \left( x^T v_i x^T v_i \right) = x^T \left( \sum_{i=1}^n v_i v_i^T \right) x $$

Mehr fällt mir nicht ein.

Comments

hallo

setz mal x=v1, dann ist x*v1=1  x*vi=0 für i≠1  aber vi*vi=1 die Summe ergäbe n?

lul

Answer 3

Wenn da nicht die Quadrate (Zweierexponenten) wären, ginge es wegen der Linearität des Skalarproduktes.

So (mit den Exponenten) aber nicht.