Bestimmung eines Wendepunktes. f(x)=ln(x+1)-x+(x^2/2) - (x^3/6)

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=ln(x+1)-x+(x²/2) - (x³/6)

Man soll nun die Wendepunkte bestimmen.

f ''(x) = -x(x+x²-1)/(x+1)² (dieser Teilschritt stimmt)

und dann habe ich die Nullstellen ausgerechnet

x₁=0 und x₂=(1/2)(√5-1) (diese Nullstellen stimmen auch noch)

Nun: was braucht es genau alles um einen Wendepunkt eindeutig zu bestimmen? Reicht es, wenn f ''(x) =0 oder muss man auch noch ein Vorzeichendiagramm erstellen um zu sehen, ob die Vorzeichen in diesen Punkten wirklich wechseln? Ich habe ein Vorzeichendiagramm ausprobiert und es ergibt sich, dass die Vorzeichen nicht wechseln. Habe wohl einen Fehler gemacht...

Comments

  die beiden Wendepunkte stimmen. Die Grafik zeigt mir
dies.

 Bei 0 :  Wechsel von - nach +
 Beim anderen Wert  :  Wechsel von + nach -

  Ich würde nochmals nachrechnen. Fallst du nicht
weiter kommst, helfe ich weiter.

  mfg Georg

Answer 1

f(x) = LN(x + 1) - x^3/6 + x^2/2 - x
f'(x) = 1/(x + 1) - x^2/2 + x - 1
f''(x) = - 1/(x + 1)^2 - x + 1
f'''(x) = 2/(x + 1)^3 - 1

Wendestelle f''(x) = 0

- 1/(x + 1)^2 - x + 1 = 0
1/(x + 1)^2 = 1 - x
1 = (1 - x)*(x + 1)^2
1 = - x^3 - x^2 + x + 1
x^3 + x^2 - x = 0
x·(x^2 + x - 1) = 0
x = - √5/2 - 1/2 ∨ x = √5/2 - 1/2 ∨ x = 0

f(- √5/2 - 1/2) = Nicht im Definitionsbereich
f(√5/2 - 1/2) = 0.01481617901
f(0) = 0

Prüfen über 3. Ableitung

f'''(√5/2 - 1/2) <> 0 ---> Wendepunkt
f'''(0) <> 0 ---> Wendepunkt

Skizze

Answer 2

hi

die hinreichenden bedingungen sind
f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠  0 für einen wendepunkt an der stelle x₀

Answer 3

f ' ' ( x_w ) = 0 ist lediglich ein notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt bei x_w.

Hinreichendes Kriterium ist:

f ' ' ( x_w ) = 0 und f ' ' ' ( x_w ) ≠ 0

Mit dem notwendigen Kriterium bestimmt man zunächst die Stellen, an denen Wendestellen vorliegen könnten und mit dem hinreichenden Kriterium prüft man dann, ob an diesen Stellen tatsächlich Wendestellen vorliegen.

Das ist bei beiden Nullstellen von f ' ' ( x ) der Fall.