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Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute
F(x1,x2)=42x10.12x20.16 F\left(x_{1}, x_{2}\right)=42 \cdot x_{1}^{0.12} x_{2}^{0.16}
wobei x1 x_{1} und x2 x_{2} die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A A und B B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 7 bzw. 2 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 464 Mengeneinheiten gefertigt werden. Fur die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A A und B B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle.
Wie hoch ist dort der Einsatz von Faktor B? B ?
a. 2206.33
b. 9258.50
c.5957.00 c .5957 .00
d. 7302.20
e. 10296.20

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+7x%2B2y+with+42*x%5E0…

minimize 7x+2y with 42*x0.12 *y0.16 = 464


Wie komm ich auf den Einsatz von Faktor B?

LG

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Aloha :)

Mist, wieso kriege ich immer die Dinger, wo Wolfram versagt?

Die Lagrange-Funktion lautet:L(x,y,λ)=7x+2yλ(42x0.12y0.16464)L(x,y,\lambda)=7x+2y-\lambda(42x^{0.12}y^{0.16}-464 )

Diese leiten wir zunächst partiell nach xx und yy ab:0=!xL=70,12λx42x0.12y0.160,12λx42x0.12y0.16=70\stackrel{!}{=}\partial_xL=7-0,12\frac{\lambda}{x}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}\quad\Rightarrow\quad0,12\frac{\lambda}{x}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}=70=!yL=20,16λy42x0.12y0.160,16λy42x0.12y0.16=20\stackrel{!}{=}\partial_yL=2-0,16\frac{\lambda}{y}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}\quad\Rightarrow\quad0,16\frac{\lambda}{y}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}=2

Bevor wir die Ableitung nach λ\lambda bilden, dividieren wir die beiden gefundenen Gleichungen:72=0,12x0,16y=0,12xy0,16=3y4x4x=67yx=314y\frac{7}{2}=\frac{\frac{0,12}{x}}{\frac{0,16}{y}}=\frac{0,12}{x}\frac{y}{0,16}=\frac{3y}{4x}\quad\Rightarrow\quad4x=\frac{6}{7}y\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{14}y

Nun gehen wir an die letzte Ableitung:

0=!λL=42x0.12y0.16464=42(314)0,12y0,12y0,164640\stackrel{!}{=}\partial_\lambda L=42x^{0.12}y^{0.16}-464=42\left(\frac{3}{14}\right)^{0,12}y^{0,12}y^{0,16}-464y0,28=46442(143)0,12y=10296,20y^{0,28}=\frac{464}{42}\left(\frac{14}{3}\right)^{0,12}\quad\Rightarrow\quad \boxed{y=10\,296,20}

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Wolfram Alpha versagt hier nur, wenn man die beiden Nichtnegativitäts-Nebenbedingungen nicht mitgibt.

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