Aloha :)
Mist, wieso kriege ich immer die Dinger, wo Wolfram versagt?
Die Lagrange-Funktion lautet:$$L(x,y,\lambda)=7x+2y-\lambda(42x^{0.12}y^{0.16}-464 )$$
Diese leiten wir zunächst partiell nach \(x\) und \(y\) ab:$$0\stackrel{!}{=}\partial_xL=7-0,12\frac{\lambda}{x}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}\quad\Rightarrow\quad0,12\frac{\lambda}{x}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}=7$$$$0\stackrel{!}{=}\partial_yL=2-0,16\frac{\lambda}{y}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}\quad\Rightarrow\quad0,16\frac{\lambda}{y}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}=2$$
Bevor wir die Ableitung nach \(\lambda\) bilden, dividieren wir die beiden gefundenen Gleichungen:$$\frac{7}{2}=\frac{\frac{0,12}{x}}{\frac{0,16}{y}}=\frac{0,12}{x}\frac{y}{0,16}=\frac{3y}{4x}\quad\Rightarrow\quad4x=\frac{6}{7}y\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{14}y$$
Nun gehen wir an die letzte Ableitung:
$$0\stackrel{!}{=}\partial_\lambda L=42x^{0.12}y^{0.16}-464=42\left(\frac{3}{14}\right)^{0,12}y^{0,12}y^{0,16}-464$$$$y^{0,28}=\frac{464}{42}\left(\frac{14}{3}\right)^{0,12}\quad\Rightarrow\quad \boxed{y=10\,296,20}$$
