Aloha :)
Ich schreibe \(x\) für \(x_1\) und \(y\) für \(x_2\), das ist etwas weniger zu tippen und übersichtlicher.$$F(x,y)=5x^2+3xy+10y^2\quad;\quad \mathbf a=(8;1)\quad;\quad F(\mathbf a)=F(8;1)=354$$
a) Momentane Änderungsrate \(dy\) bei konstantem \(F(8;1)\):
Wenn die Funktion \(F\) konstant ist, muss ihr Differential \(dF\) null sein:$$0\stackrel{!}{=}dF=\partial_x F\,dx+\partial_y F\,dy=(10x+3y)dx+(3x+20y)dy=83dx+44dy$$$$dy=-\frac{83}{44}dx=-1,88\overline{63}\,dx$$
b) Exakte Veränderung des zweiten Argumentes, wenn \(\Delta x=-0,35\) beträgt:$$354=F(8;1)\stackrel{!}{=}F(7,65;y)=292,6125+22,95y+10y^2$$$$10y^2+22,95y-61,3875=0\quad\Leftrightarrow\quad y^2+2,295y-6,13875=0$$Mit der pq-Formel finden wir:$$y_1\approx-3,87798\quad;\quad y_2\approx1,582977$$Da wir lt. Aufgabenstellung \(x,y\ge0\) annehmen sollen, bleibt nur \(y_2\) als Lösung übrig. \(y\) erhöht sich also von \(1\) auf \(1,582977\). Das bedeutet für die Änderung:$$\Delta y=0,582977$$
c) Approximative Veränderung des zweiten Argumentes, wenn \(\Delta x=-0,35\) beträgt:$$\Delta y=-\frac{83}{44}\cdot(-0,35)=0,6602\overline{27}$$
