Nachweis, das eine Kugel genau eine Koordinatenebene berührt.

Question

Der Punkt P(3/8/2) liegt auf der Oberfläche einer Kugel, die den Mittelpunkt M(3/4/5) hat. Weisen Sie nach, dass die Kugel genau eine Koordinatenebene berührt.

Leider hat uns mein Lehrer nie irgendwas über Kugel im Zusammenhang mit der Vektorrechnung erzählt, deswegen bin ich ein bisschen ratlos und hoffe das mir jemand helfen kann :)

Mein Ansatz war, das ich jetzt einfach den Betrag von MP ausgerechnet habe -> das ist 5. Da die z-Komponente bei M auch 5 beträgt, hätte ich geschlussfolgert, das die Kugel genau eine Koordinatenebene berührt. Aber wie gesagt ich hab kein Plan, da es auf die Aufgabe auch 3 BE denke ich das da noch etwas fehlt ;))

Answer 1

Ich finde deine Argumentation überzeugend. Da fehlt nichts.

Solltest dazu schreiben, dass es nur "genau eine" ist,

weil der Abstand des Kugelmittelpunktes zu den anderen

Koordinatenebenen nicht genau 5 ist.

Answer 2

Aloha :)

Die Kugel hat den Mittelpunkt \(M(3|4|5)\). Ein Punkt auf der Oberfläche ist \(P(3|8|2)\). Daher ist der Radius der Kugel:$$r=\left\|\begin{pmatrix}3\\8\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5$$Damit lautet die Gleichung der Kugel:$$(x-3)^2+(y-4)^2+(z-5)^2\le25$$Für \(z=0\) gibt es nur den Punkt \((3|4|0)\), der diese Gleichung erfüllt. die xy-Ebene wird also in genau einem Punkt berührt. Für die beiden anderen Ebenen \(x=0\) bzw. \(y=0\) kann man immer mindestens 2 Punkte angeben, die diese Gleichung erfüllen. Die anderen Ebenen werden also geschnitten.