Liebe Community!
Mich beschäftigen zwei Aufgaben:
Es sei \( V \) ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit den Elementen \( k, e . \) Sei \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) eines der Skalarprodukte von \( V \) und \( r:=|\cdot| \) die zu \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) gehörige Norm. Zeigen Sie durch geschicktes Ausnützen der Kettenregel:
1. Sei \( f(p):=\langle k, p\rangle^{2} \) für alle \( p \in V . \) Dann folgt für \( X, p \in V, \) dass \( [X]_{p}(f)=2\langle k, p\rangle\langle k, X\rangle \) , \( d_{p} f=2\langle k, p\rangle\langle k, \cdot\rangle \) und \( \operatorname{grad}_{p} f=2\langle k, p\rangle \cdot k \)
2. Sei \( f:=-\frac{1}{r} \) auf \( U=V \backslash 0 . \) Dann folgt für \( X \in V \) und \( p \in U, \) dass \( [X]_{p}(f)=\frac{(p, X)} {|p|^{3}}, \quad d_{p} f=\frac{(p, \cdot)}{|p|^{3}} \) und \( \operatorname{grad}_{p} f=p /|p|^{3} \)
Die bei uns gebräuchliche Definition des Gradienten habe ich mir wie folgend notiert: Sei \( U \subset V \) offen und \( f: U \rightarrow \mathbb{R} \) sei differenzierbar in \( p \in U . \) Dann heißt der Vektor grad \( _{p}(f) \in V \) mit \(\left\langle\operatorname{grad}_{p}(f), X\right\rangle=[X]_{p} f=d_{p} f(X) \text { für alle } X \in V \) Gradient von \( f \) im Punkt \( p . \)
Ich habe den Beweis für die jeweils erste Aussage fertig. Ich hätte aus dem Beweis für die erste Aussage und aus der Definition des Gradienten die Richtigkeit der jeweils zwei anderen Aussagen direkt gefolgert. Ist das zulässig oder brauche ich da weitere Beweisschritte?
Beste Grüße und vielen Dank im Voraus
