Aloha :)
Wir bringen die Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Treppennormalform:$$\left(\begin{array}{r}+3S_2 & +S_3\\\hline4 & -1 & 1 & 0\\5 & 1 & 3 & 0\\ -1 & -1 & -1 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}-2S_2 & :4 & -S_1\\\hline1 & 0 & 1 & 0\\8 & 4 & 3 & 0\\ -4 & -2 & -1 & 0\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{r} & & +5S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -0,5 & 3 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} & +S_3 & \cdot2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -0,5 & 0,5 & 0\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$$Wir zählen 3 Spalten, deren Elemente nicht alle null sind, der Rang der Matrix ist daher \(3\).
Die Frage, ob die Matrix invertierbar ist, irritiert mich ein wenig, weil nur quadratische Matrizen invertierbar sein können, was \(C\) offensichtlich nicht ist. Ohne die Nullspalte ganz rechts wäre die resultierende 3x3-Matrix invertierbar.
