0 Daumen
324 Aufrufe

Ich kann folgenden Sachverhalt nicht (allgemein) einsehen:

Es sei \((a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) eine Folge. Betrachte damit \(g_n:=\inf\limits_{k\geq n} a_k\) für alle \(n\in \mathbb{N}\). Dann gilt für alle \(k\geq n\) die Eigenschaft \(g_n \leq a_k\).

Ich konnte mich zumindest anhand des folgenden Beispiels davon überzeugen, dass obiger Sachverhalt gilt:

\(a_n=(-1)^n\cdot \frac{1}{n}\). Meine Beobachtungen dazu:

\(g_1=\inf\limits_{k\geq 1} a_k=\inf\{-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=-1\leq -1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\)

\(g_2=\inf\limits_{k\geq 2} a_k=\inf\{\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},...\}=-\frac{1}{3}\leq \frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},...\)

\(g_3=\inf\limits_{k\geq 3} a_k=\inf\{-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},...\}=-\frac{1}{3}\leq -\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},...\)

\(g_4=\inf\limits_{k\geq 4} a_k=\inf\{\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{7}...\}=-\frac{1}{5}\leq \frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{7}...\)

Hier ist es wie ganz oben beschrieben zu sehen. Aber wenn ich das allgemein betrachten will, dann fehlt mir schonmal der Grund überhaupt einzusehen, warum ich denn bei k=n starten kann, sodass immernoch die Eigenschaft \(g_n \leq a_k\) gilt.

Avatar von 15 k

Wenn man aus einer Menge ein Element entfernt, kann das Infimum dieser Menge nicht kleiner werden, als es vorher war.

Ok, das ist mir bereits klar, dass \(g_n\) monoton wachsend ist. Aber mich interessiert nun der Sachverhalt für ein festes n und ab da alle weiteren Folgenglieder; also warum man \(g_n\leq f_k\) für alle \(k\geq  n\) folgern kann.

Ehrlich gesagt, habe ich die Aufgabe nicht verstanden:

\(g_n\) ist als (größte) untere Schranke für alle \(a_k\) mit \(k \geq n\). Also offenbar

$$g_n \leq a_k  \text{ für } k\geq n$$

Wo ist das Problem?

Gruß

...ist als (größte) untere Schranke...

Ok, jetzt verstehe ich auch die Ungleichung. Mir war leider bei der Betrachtung entgangen, dass ich ja Folgen bestehend aus größten unteren Schranken betrachte, welche für jedes n mit g_n benannt werden.

Damit hat sich mein Verständnisproblem doch gelöst. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht, und man sieht zwar viele andere Sachen, die aber im Moment nutzlos sind, bzw. zum Verständnis nichts beitragen.^^

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community