Ich kann folgenden Sachverhalt nicht (allgemein) einsehen:
Es sei \((a_n)_{n\in \mathbb{N}} \) eine Folge. Betrachte damit \(g_n:=\inf\limits_{k\geq n} a_k\) für alle \(n\in \mathbb{N}\). Dann gilt für alle \(k\geq n\) die Eigenschaft \(g_n \leq a_k\).
Ich konnte mich zumindest anhand des folgenden Beispiels davon überzeugen, dass obiger Sachverhalt gilt:
\(a_n=(-1)^n\cdot \frac{1}{n}\). Meine Beobachtungen dazu:
\(g_1=\inf\limits_{k\geq 1} a_k=\inf\{-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=-1\leq -1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\)
\(g_2=\inf\limits_{k\geq 2} a_k=\inf\{\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},...\}=-\frac{1}{3}\leq \frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},...\)
\(g_3=\inf\limits_{k\geq 3} a_k=\inf\{-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},...\}=-\frac{1}{3}\leq -\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},...\)
\(g_4=\inf\limits_{k\geq 4} a_k=\inf\{\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{7}...\}=-\frac{1}{5}\leq \frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6},-\frac{1}{7}...\)
Hier ist es wie ganz oben beschrieben zu sehen. Aber wenn ich das allgemein betrachten will, dann fehlt mir schonmal der Grund überhaupt einzusehen, warum ich denn bei k=n starten kann, sodass immernoch die Eigenschaft \(g_n \leq a_k\) gilt.
