eine Vermutung für determinante von Matrix A Beweisen

Question

Aufgabe:

Für n ∈ N betrachten wir die reelle (2n × 2n)-Matrix:

i) Bestimmen Sie die Determinante der Matrizen A1 und A2 und stellen Sie eine Vermutung
auf, wie sich det(An) aus n berechnen lässt.
ii) Beweisen Sie Ihre Vermutung für det(An).

Hinweis: Dies ist zum Beispiel mit vollständiger Induktion möglich

Ich hänge bei einer Aufgabe ein wenig. Vielleicht kann mir ja jemand  helfen.

Answer 1

Das ist immer:    det(A_n+1) = -5* det(A_n)

Beweis mit Induktion:  (Anfang ist ja klar.)

Und wenn du det(A_n+1) nach der 1. Spalte entwickelst, gibt das

-1 * det(B) - 2*det(C)  #  (und das - vor der 2, weil die Zeilenzahl gerade ist)

und dabei ist B eine Matrix, die ähnlich wie  An aussieht, allerdings ist

"oberhalb" von A_n noch eine Zeile mit vorne einer 2 und dann alles 0en

und "vor" dem A_n eine solche Spalte.  Wenn du also nun B nach der

ersten Spalte (oder Zeile) entwickelst, bekommst du  2*det(A_n).

Das bei # eingesetzt gibt schon mal   -1 * 2*det(A_n) - 2*det(C)  ##.

Entsprechend gibt es bei C die Matrix An mit einer zusätzlichen Spalte

links und einer zusätzlichen Zeile unten, die alles nur 0en enthalten,

außer der 2 links unten. Deren Determinante ist also (Beachte jetzt:

Zeilen und Spaltenzahl ungerade !) durch Entwicklung nach der ersten

Spalte  2*det(A_n).  Einsetzen bei ## gibt dann das Ergebnis.  (-5)*det(A_n)

Comments

Hallo mathef,

ich glaube, das gibt doch:

det(A_n+1)=(-1)*(-1)*det(A_n)-2*2*det(A_n)

also

det(A_n+1)=(-3)*det(A_n)

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Hallo mathef

vielen dank für die Erklärung.

det(An+1)=(-3)*det(An) ist richtig 

danke Woodoo für den hinweis