Matrix A=((1,1),(1,0)). A^1, A^2, A^3 ... berechnen. Vermutung für A^n? Induktion.

Question

b) Gegeben ist die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \). Unter der Matrix \( A^{n} \) versteht man \( A \cdot A \cdot \ldots \cdot A \) (n-mal). Berechnen Sie \( \mathrm{A}^{1}, \mathrm{~A}^{2}, \mathrm{~A}^{3} \) solange, bis sie ein Gefühl für Gesetzmäßigkeiten bekommen. Geben Sie eine Vermutung an: Welche Aussage können Sie über \( A^{n} \) machen?

c) Gegeben ist eine Zahlenfolge durch \( f_{1}=1, f_{2}=1, f_{n+2}=f_{n}+f_{n+1} \) Berechnen Sie die ersten 7 Folgenglieder.

d) Zeigen Sie durch vollständige Induktion: \( A^{n}=\left(\begin{array}{cc}f_{n+1} & f_{n} \\ f_{n} & f_{n-1}\end{array}\right) \),
Hinweise, die hoffentlich nützlich sind:
Induktionsanfang: \( \mathrm{n}=1 \) : Was muss für \( \mathrm{A}^{1} \) gezeigt werden? Induktionsschritt: Nutzen Sie \( A^{n}=A^{n-1} \cdot A . \) Schreiben Sie immer zuerst auf: Was ist \( A^{n} ? \) Was ist \( A^{n-1} \) ?

Answer 1

Wo liegen denn genau die Schwierigkeiten. Multiplizier doch erstmal wie es dort steht. Erkennst du eine Gesetzmäßigkeit? Naja . Spätestens wenn du jetzt c) machst sollte dir ein Licht aufgehen.

[1, 1; 1, 0]^n

[0, [1, 0; 0, 1];
1, [1, 1; 1, 0];
2, [2, 1; 1, 1];
3, [3, 2; 2, 1];
4, [5, 3; 3, 2];
5, [8, 5; 5, 3];
6, [13, 8; 8, 5];
7, [21, 13; 13, 8];
8, [34, 21; 21, 13];
9, [55, 34; 34, 21];
10, [89, 55; 55, 34]]