Bestimmen Sie det(A) und { a ∈ Q | det(Aa) = 0 }. Determinante einer Matrix

Question

Aufgabe: Determinanten

Es seien a ∈ Q und
A_a := \( \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & 2 \\ a & a & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 1 & a  \end{pmatrix} \) ∈ M₄(ℚ).
Bestimmen Sie det(A) und { a ∈ Q | det(A_a) = 0 }. Führen Sie dabei Ihre Nebenrechnungen
im Detail aus und erklären Sie Ihr Vorgehen.

Answer 1

Subtrahiere zunächst die zweite Spalte von der ersten:$$\det(A_a)=\begin{vmatrix}1&2&-1&2\\0&a&1&-1\\1&1&3&-1\\1&2&1&a\end{vmatrix}$$Subtrahiere nun die erste Zeile von der dritten, sowie der vierten:$$\det(A_a)=\begin{vmatrix}1&2&-1&2\\0&a&1&-1\\0&-1&4&-3\\0&0&2&a-2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&1&-1\\-1&4&-3\\0&2&a-2\end{vmatrix}$$Addiere das a-fache der zweiten Zeile zur ersten:$$\det(A_a)=\begin{vmatrix}0&1+4a&-1-3a\\-1&4&-3\\0&2&a-2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1+4a&-1-3a\\2&a-2\end{vmatrix}\\\det(A_a)=4a^2-a=a\cdot(4a-1).$$Das wird Null für \(a\in\lbrace0,\frac14\rbrace\).