Determinante einer Matrix bestimmen.

Question

Aufgabe:

Seien a, b, c, r1, r2 ∈ R^(4x1)
. Seien A := (a, r1, b, r2) (A ist also die 4×4-Matrix, die a, r1, b, r2
als Spalten hat), B := (c, r1, a, r2) und C := (b, r1, c, r2) mit det A = 3 und det B = 2 und
det C = 1.
Finden Sie det(A + B).

Problem/Ansatz:

Kann mir vielleicht jemand sagen wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Wenn ich Matrix A nehme und die spalte a und b tausche dann wäre a auf jedemfall schonmal an der richtigen Stelle. Also Vorzeichenwechsel bei der Determinante. Aber wie komme ich dann weiter? Schließlich befindet sich in Matrix A die Spalte b und in Matrix C die Spalte c.

Habe auch schon mit ausrechnen der Determinante und dann irgendwie vergleichen versucht. Aber auch da geht es  nicht weiter.

Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte

Answer 1

Untersuche die ausgeschriebenen Matrizen 

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}a1&r11&b1&r21\\a2&r12&b2&r22\\a3&r13&b3&r23\\a4&r14&b4&r24\\\end{array}\right), B...,C...\)

Berechne |A+B|

\(\scriptsize +4 \; a1 \; c2 \; r13 \; r24 - 4 \; a1 \; c2 \; r23 \; r14 - 4 \; a1 \; r12 \; c3 \; r24 + 4 \; a1 \; r12 \; b3 \; r24 + 4 \; a1 \; r12 \; r23 \; c4  \\\scriptsize - 4 \; a1 \; r12 \; r23 \; b4 - 4 \; a1 \; b2 \; r13 \; r24 + 4 \; a1 \; b2 \; r23 \; r14 + 4 \; a1 \; r22 \; c3 \; r14 - 4 \; a1 \; r22 \; r13 \; c4 \\\scriptsize + 4 \; a1 \; r22 \; r13 \; b4 - 4 \; a1 \; r22 \; b3 \; r14 - 4 \; c1 \; a2 \; r13 \; r24 + 4 \; c1 \; a2 \; r23 \; r14 + 4 \; c1 \; r12 \; a3 \; r24 \\\scriptsize + 4 \; c1 \; r12 \; b3 \; r24 - 4 \; c1 \; r12 \; r23 \; a4 - 4 \; c1 \; r12 \; r23 \; b4 - 4 \; c1 \; b2 \; r13 \; r24 + 4 \; c1 \; b2 \; r23 \; r14 \\\scriptsize - 4 \; c1 \; r22 \; a3 \; r14 + 4 \; c1 \; r22 \; r13 \; a4 + 4 \; c1 \; r22 \; r13 \; b4 - 4 \; c1 \; r22 \; b3 \; r14 + 4 \; r11 \; a2 \; c3 \; r24 \\\scriptsize - 4 \; r11 \; a2 \; b3 \; r24 - 4 \; r11 \; a2 \; r23 \; c4 + 4 \; r11 \; a2 \; r23 \; b4 - 4 \; r11 \; c2 \; a3 \; r24 - 4 \; r11 \; c2 \; b3 \; r24 \\\scriptsize + 4 \; r11 \; c2 \; r23 \; a4 + 4 \; r11 \; c2 \; r23 \; b4 + 4 \; r11 \; b2 \; a3 \; r24 + 4 \; r11 \; b2 \; c3 \; r24 - 4 \; r11 \; b2 \; r23 \; a4 \\\scriptsize - 4 \; r11 \; b2 \; r23 \; c4 + 4 \; r11 \; r22 \; a3 \; c4 - 4 \; r11 \; r22 \; a3 \; b4 - 4 \; r11 \; r22 \; c3 \; a4 - 4 \; r11 \; r22 \; c3 \; b4 \\\scriptsize + 4 \; r11 \; r22 \; b3 \; a4 + 4 \; r11 \; r22 \; b3 \; c4 + 4 \; b1 \; a2 \; r13 \; r24 - 4 \; b1 \; a2 \; r23 \; r14 + 4 \; b1 \; c2 \; r13 \; r24 \\\scriptsize - 4 \; b1 \; c2 \; r23 \; r14 - 4 \; b1 \; r12 \; a3 \; r24 - 4 \; b1 \; r12 \; c3 \; r24 + 4 \; b1 \; r12 \; r23 \; a4 + 4 \; b1 \; r12 \; r23 \; c4 \\\scriptsize + 4 \; b1 \; r22 \; a3 \; r14 + 4 \; b1 \; r22 \; c3 \; r14 - 4 \; b1 \; r22 \; r13 \; a4 - 4 \; b1 \; r22 \; r13 \; c4 - 4 \; r21 \; a2 \; c3 \; r14 \\\scriptsize + 4 \; r21 \; a2 \; r13 \; c4 - 4 \; r21 \; a2 \; r13 \; b4 + 4 \; r21 \; a2 \; b3 \; r14 + 4 \; r21 \; c2 \; a3 \; r14 - 4 \; r21 \; c2 \; r13 \; a4 \\\scriptsize - 4 \; r21 \; c2 \; r13 \; b4 + 4 \; r21 \; c2 \; b3 \; r14 - 4 \; r21 \; r12 \; a3 \; c4 + 4 \; r21 \; r12 \; a3 \; b4 + 4 \; r21 \; r12 \; c3 \; a4 \\\scriptsize + 4 \; r21 \; r12 \; c3 \; b4 - 4 \; r21 \; r12 \; b3 \; a4 - 4 \; r21 \; r12 \; b3 \; c4 - 4 \; r21 \; b2 \; a3 \; r14 - 4 \; r21 \; b2 \; c3 \; r14 \\\scriptsize + 4 \; r21 \; b2 \; r13 \; a4 + 4 \; r21 \; b2 \; r13 \; c4\)

|A| , |B| , |C|

===>

|A+B| = 4 |A| + 4 |B| - 4 |C| = 4*3 + 4*2 -4*1 = 16

Comments

Könntest du mir vielleicht mitteilen, wie du auf die 4 jeweils kommst?

---

Hab |A+B| oben ergänzt (gerechnet in GeoGebra)

Answer 2

Die Determinante ist eine Multilinearform, d.h.

$$ \det( ..., \alpha s_i + \alpha' s_i', ... ) = \alpha \det( ..., s_i, ...) + \alpha' \det ( ..., s_i', ... ) $$

(bisschen salopp aufgeschrieben, aber ich hoffe es ist klar was gemeint ist?)

Jetzt ist \( A + B = ( a + c, 2r_1, b + a, 2r_2) \), also gilt

$$ \begin{aligned} &~ \det(A+B)\\=&~ \det  ( a + c, 2r_1, b + a, 2r_2) \\=&~ 4 \det(a+c, r_1, b+a, r_2)\\=&~ 4(\det(a,r_1,b+a,r_2) + \det(c,r_1,b+a,r_2)) \\=&~ 4(\det(a,r_1,b,r_2)+\det(a,r_1,a,r_2) + \det(c,r_1,b,r_2) + \det(c, r_1, a, r_2)) \\ =&~ 4(\det A + 0 - \det C + \det B) \\ =&~ 16\end{aligned} $$

Comments

Oh vielen Dank das ist die Lösung!!