Aloha :)
Wir haben hier den wichtigen Sonderfall, dass eine Funktion \(f=f(x)\) nur vom Betrag des Vektors \(\vec x\) abhängt. Wir betrachten dazu mit Hilfe der Kettenregel die \(k\)-te Komponente des Gradienten:
$$\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}=\frac{df}{dx}\frac{\partial x}{\partial x_i}=f'(x)\frac{\partial}{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}=f'(x)\frac{2x_i}{2\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}}$$$$\phantom{\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}}=f'(x)\frac{x_i}{x}$$Für den vollständigen Gradienten bedeutet dies:$$\operatorname{grad}f(x)=f'(x)\cdot\vec x^0$$
Mit der Produktregel für den Nabla-Operator finden wir:$$\operatorname{div}\operatorname{grad}x=\operatorname{div}\left(1\cdot\vec x^0\right)=\vec\nabla\left(\frac{1}{x}\vec x\right)=\vec\nabla\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\vec x+\frac{1}{x}\vec\nabla\vec x$$$$\phantom{\operatorname{div}\operatorname{grad}x}=\operatorname{grad}\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\vec x+\frac{1}{x}\operatorname{div}\vec x=-\frac{1}{x^2}\vec x^0\cdot\vec x+\frac{1}{x}\cdot3=-\frac{1}{x}+\frac{3}{x}=\frac{2}{x}$$
