Halbachsenlängen einer Ellipse berechnen?

Question

ich muss die Halbachsenlängen a und b dieser Ellipse herausfinden ell:x²/a² + y²/b²=1

Die Gerade berührt die Ellipse m Punkt .

Gerade t: y= -0,3x + 2,5

B(3;1,6)

Danke =)

Comments

Nur eine Bemerkung:

Man sollte jedenfalls nicht vergessen, nachzuprüfen, ob der Punkt B wirklich auf der (schon gegebenen) Tangente t liegt.

Answer 1

Löse die Ellipsengleichung nach y auf:

(1) y=f(x)=b/a·√(a²-x²)

Dann ist (2) f '(x)=-bx/a·√(a²-x²)

Setze P(3|1,6) in (1) ein und f '(3)=-0,3 in (2) ein.

Löse das System.

Comments

Danke für die Antwort

Könnten Sie mir aber bitte noch erklären, wie sie das auf y umgeformt haben, ich komme nämlich auf etwas anderes

Danke

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y²/b²=1-x²/a²

y²/b²=(a²-x²)/a²

y²=b²(a²-x²)/a²

y=f(x)=b/a·√(a²-x²)

Answer 2

Hallo,

Du kanst Dir die Umformungen sparen, wenn du direkt die Ellipsengleichung nach \(x\) ableitest. Mit Ellipse \(E\), Tangente \(t\) und Punkt \(B\) $$E: \quad \frac {x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\\ t: \quad y = -0,3x + 2,5 \\ B(3;1,6) = E \cap t$$und der Ableitung von \(E\) nach \(x\)$$E': \quad \frac {2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 $$setzt Du \(x=3\), \(y=1,6\) und \(y'=-0,3\) in \(E\) und \(E'\) ein, dann erhältst Du ein lineares Gleichungssystem:$$\begin{aligned} \frac{3^2}{a^2} + \frac{1,6^2}{b^2} &= 1 \\ \frac {2 \cdot 3}{a^2} + \frac{2 \cdot 1,6 \cdot (-0,3)}{b^2} &= 0 \\ \begin{pmatrix} 9 & 2,56 \\ 6 & -0,96 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/a^2\\1/b^2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Wenn man nun zum 3-fachen der ersten Zeile das 8-fache der zweiten addierst, erhält man:$$\begin{aligned} (3 \cdot 9 + 8 \cdot 6)\frac 1{a^2} &= 3  \\ \frac{27 + 48}{3} &= a^2 \\ a^2 &= 25\end{aligned}$$ \(b\) schaffst Du alleine ;-) und im Plot sieht das ganze so aus:

~plot~ -0,3x+2,5;2*sqrt(1-(x^2/25));{3|1.6} ~plot~

Answer 3

Halbachsenlängen a und b dieser Ellipse herausfinden ell: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1\)
Die Gerade berührt die Ellipse im Punkt \(B(\red{3}|\blue{1,6})\)
Gerade t: \(y= -0,3x + 2,5\)      \(m=-0,3\)

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1\)

\(f(x,y)=b^2x^2+a^2y^2-1\)

\(f_x(x,y)=2b^2x\)           \(f_x=6b^2\)

\(f_y(x,y)=2a^2y\)           \(f_y=3,2a^2\)

\(f´(3)=- \frac{6b^2}{3,2a^2} \)

\(-0,3=- \frac{6b^2}{3,2a^2} \)         \(0,3= \frac{6b^2}{3,2a^2} \)             \(b^2=0,16a^2\)

\(B(\red{3}|\blue{1,6})\)  liegt auf  \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1\) →   \(\frac{9}{a^2} + \frac{2,56}{0,16a^2}=1\)

\(a^2=25\)      \(b^2=4\)

Halbachsenlängen:   \(a=5\)     \(b=2\)

Ellipse:    \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4}=1\)