Leibniz-Kriterium bzgl. Reihen

Question

Aufgabe:

Konvergiert diese Reihe in ℝ für n ↦ ∞?

n ↦ \( \sum\limits_{k=1}^{n}{} \) (-1)^k(\( \sqrt{k} \) - \( \sqrt{k + 22} \))

Problem/Ansatz:

Also an sich kenne ich die Lösung bereits, sie sieht wie folgt aus:

z.z.: k ↦ (\( \sqrt{k} \) - \( \sqrt{k + 22} \)) ist monotone Nullfolge

(*) = \( \frac{( \sqrt{k}  -  \sqrt{k - 22} )( \sqrt{k}  +  \sqrt{k + 22} )}{( \sqrt{k}  +  \sqrt{k + 22} )} \) (3. Binomische Formel)

= -22 * \( \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 22}} \) ↦  0 (mit n ↦ ∞)

k ↦ \( \sqrt{k} \) → ∞ (mit n ↦ ∞) s.m.s.

k ↦ \( \sqrt{k + 22} \) → ∞ (mit n ↦ ∞) s.m.s.

k ↦ \( \sqrt{k} \) + \( \sqrt{k + 22} \) s.m.s

k ↦ (....)^-1 s.m.f.

konvergiert in ℝ

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir diese Lösung nochmal genauer erklären könntet :D

Answer 1

Aloha :)

Die angegebene Reihe$$s=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\cdot a_n\quad;\quad a_n:=\sqrt n-\sqrt{n+22}$$konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, wenn \(a_n\) eine monotone, reelle Nullfolge ist. Daher reicht es aus, \(a_n\) genauer zu betrachten.

$$a_n=\sqrt n-\sqrt{n+22}=\frac{(\sqrt n-\sqrt{n+22})(\sqrt n+\sqrt{n+22})}{\sqrt n+\sqrt{n+22}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{(\sqrt n)^2-(\sqrt{n+22})^2}{\sqrt n+\sqrt{n+22}}=\frac{n-(n+22)}{\sqrt n+\sqrt{n+22}}=\frac{-22}{\sqrt n+\sqrt{n+22}}\nearrow 0$$Mit wachsendem \(n\) wächst der Nenner, sodass \(a_n\) von unten monoton gegen \(0\) konvergiert.

Du kannst die Monotonie auch rein formal zeigen:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{-22}{\sqrt {n+1}+\sqrt{n+23}}+\frac{22}{\sqrt n+\sqrt{n+22}}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=22\cdot\frac{-(\sqrt n+\sqrt{n+22})+(\sqrt {n+1}+\sqrt{n+23})}{(\sqrt {n+1}+\sqrt{n+23})(\sqrt n+\sqrt{n+22})}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=22\cdot\frac{\overbrace{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}^{>0} +\overbrace{(\sqrt{n+23}-\sqrt{n+22})}^{>0}}{(\sqrt {n+1}+\sqrt{n+23})(\sqrt n+\sqrt{n+22})}>0$$Daher ist \(a_{n+1}>a_{n}\) und daher die Folge \((a_n)\) streng monoton wachsend.