Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (mehr als) bestimmen?

Question

habe hier eine Aufgabe und auch ein Ergebnis dazu, würde mich gern vergewissern ob dies korrekt ist.

Es treten durchschnittlich 3 Unfälle am Tag auf. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt der vierte Unfall erst nach mehr als 72 Stunden auf?

Meine Lösung ist 0,05496.

Answer 1

Aloha :)

Gemäß der Poisson-Verteilung für \(\lambda=3\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag kein Unfall passiert:$$p(\text{24h ohne Unfall})=\frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-3}\approx4,9787\%$$Die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von 72 Stunden, also an 3 aufeinander folgenden Tagen, kein Unfall passiert ist daher:$$p(\text{72h ohne Unfall})=\frac{1}{e^3}\cdot\frac{1}{e^3}\cdot\frac{1}{e^3}=\frac{1}{e^9}\approx0,01234\%$$

Comments

Entweder verstehe ich ihre Antwort nicht oder ich verstehe die Aufgabe nicht, welche meiner Meinung nach schlecht formuliert wurde.

Es geht darum das drei Unfälle geschehen sind und dann der 4. Unfall nach 72 Stunden oder länger eintritt. Jedenfalls verstehe ich das so, muss durchaus nicht stimmen.

---

3 Unfälle pro Tag ist der Erwartungswert für einen Tag. Daraus kannst du mit Hilfe der Poisson-Verteilung ausrechnen, dass die Wahrscheinlichkeit für keinen Unfall am Tag bei knapp 5% liegt. Du brauchst nach dem 3-ten Unfall mindestens 3 unfallfreie Tage, also musst du die Wahrscheinlichkeit für keinen Unfall an einem Tag 3-mal mit sich selbst multiplizieren.

---

Habe jetzt länger über die Sache nachgedacht und muss sagen, dass mir die Sache recht schwer fällt. So wie ich das sehe handelt es sich hier doch um ein Warteschlangenproblem, welches man mit der Erlangverteilung lösen kann. Sicherlich kann man dies auch auf Poisson aufsplitten, da ich mich aber zum ersten Mal damit beschäftige weiß ich nicht wie.

Das was Sie mir hier aufgeschrieben haben, war mir bewusst kann aber dahingehend nichts ableiten über die Lösung der Aufgabe.

Ich nehme an 0,01234% ist die Lösung der Aufgabe ich bezweifle dies noch. Kann mir nicht vorstellen das (72 h ohne Unfall) dasselbe ist wie (72h oder länger ohne Unfall).

---

Okay ich glaube jetzt habe ich die Sache besser verstanden.

Es handelt sich nur um n=1. Somit ist nur die Formel \( e^{-λ·t} \) nötig. Danke für Ihre Bemühungen!