Partialbruchzerlegung durchführen

Question

Aufgabe:

Bei diesem Integral muss eine Partialbruchzerlegung durchführen.

\( \int \frac{2 x-1}{x^{2}-3 x+2} d x \)

Problem/Ansatz: Könnte mir jmd. Helfen? Danke

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{2x-1}{x^2-3x+2}=\frac{2x-1}{(x-2)(x-1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x-2)}{(x-2)(x-1)}$$$$\quad=\frac{(A+B)x-(A+2B)}{(x-2)(x-1)}$$Koeffizientenvergleich liefert:$$A+B=2\quad;\quad A+2B=1\quad\Rightarrow\quad A=3\quad;\quad B=-1$$$$\frac{2x-1}{x^2-3x+2}=\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x-1}$$Das kannst du nun bequem integrieren:

$$\int\frac{2x-1}{x^3-3x+2}dx=\int\frac{3}{x-2}dx-\int\frac{1}{x-1}dx=3\ln|x-2|-\ln|x-1|+c$$

Answer 2

Der Nenner hat die Nullstellen 1 und 2 und kann deshalb als (x-1)(x-2) umgeschrieben werden.

Answer 3

Der Nenner ist (x-1)(x-2). Ansatz \( \frac{A}{x-2} \) +\( \frac{B}{x-1} \) .

Ergebnis \( \frac{3}{x-2} \) -\( \frac{1}{x-1} \) .