Logarithmische Integration mit cos^2(x) und tan(x) im Nenner

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\dfrac{10}{\cos^2(2x+7)\cdot \tan(2x+7)} \, \text{d}x\)

Problem/Ansatz:

Zu berechnen ist das Integral mit logarithmischer Integration. Mein Zähler muss hier die Ableitung des Nenners sein. Leider finde ich keinen Ansatz, die Gleichung diesbezüglich umzuschreiben.

Answer 1

Aloha :)

Betrachte folgende Ableitung:$$(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos x\cos x+\sin x\sin x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2x}$$Das Integral ist daher vom Typ \(\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|\), wie folgende Transformation zeigt:

$$\int\limits\frac{10}{\cos^2(2x+7)\cdot\tan(2x+7)}dx=10\int\frac{\frac{1}{\cos^2(2x+7)}}{\tan(2x+7)}dx$$$$=10\int\limits_a^b\frac{\left(\tan(2x+7)\right)'}{\tan(2x+7)}dx=10\ln\left|\tan(2x+7)\right|+\text{const}$$

Comments

Danke für die Hilfe! Ich hab' schon vermutet, dass der Zusammenhang in der Ersetzung des Tangens liegt. Mein Fehler lag dann allgemein im Umschreiben des Ausdrucks.

Vielen Dank nochmal!!!

Answer 2

\(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\dfrac{10}{\cos^2(2x+7)\cdot \tan(2x+7)} \, \text{d}x\)

\(5*\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\dfrac{\dfrac{2}{\cos^2(2x+7)}}{\tan(2x+7)} \, \text{d}x\)

Vielleicht hilft das schon !