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Teil 1: Multiplikatives Inverses in \(\mathbb{H}\)
Wir wollen zeigen, dass jedes \(z \in \mathbb{H} \setminus \{0\}\) ein multiplikatives Inverses besitzt. Zunächst definieren wir das Quaternion \(z\) und sein Konjugiertes \( \bar{z} \):
Sei \( z = a + b i + c j + d k \), dann ist das konjugierte Quaternion \(\bar{z} = a - b i - c j - d k\).
Wir berechnen zunächst \( z \bar{z} \):
\(
z \bar{z} = (a + b i + c j + d k) (a - b i - c j - d k)
\)
Nach der Definition der Multiplikation von Quaternionen:
\(
z \bar{z} = a^2 - a(bi) - a(cj) - a(dk) + (bi)(-a) - (bi)(bi) - (bi)(cj) - (bi)(dk) + (cj)(-a) - (cj)(bi) - (cj)(cj) - (cj)(dk) + (dk)(-a) - (dk)(bi) - (dk)(cj) - (dk)(dk)
\)
Vereinfacht das:
\(
z \bar{z} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2
\)
Da \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\), ist \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge 0\) und \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \neq 0\) für \(z \neq 0\).
Das zeigt, dass \(z \bar{z}\) eine reelle Zahl ist und nicht null für \(z \neq 0\). Nun definieren wir das multiplikative Inverse von \(z\) als
\(
z^{-1} = \frac{\bar{z}}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}
\)
Wir prüfen, ob \(z z^{-1} = 1\):
\(
z z^{-1} = z \left( \frac{\bar{z}}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \right) = \frac{z \bar{z}}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} = 1
\)
Somit haben wir gezeigt, dass jedes \(z \in \mathbb{H} \setminus \{0\}\) ein multiplikatives Inverses besitzt.
Teil 2: Satz von Lagrange und Quaternionen
Ein klassischer Satz von Lagrange besagt, dass jede natürliche Zahl \( n \) sich als Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen schreiben lässt. Wir wollen diesen Satz in Bezug auf Quaternionen anwenden.
Sei \(n \in \mathbb{N}\). Dann gibt es ganzzahlige \( x, y, z, w \in \mathbb{Z} \) so dass:
\(
n = x^2 + y^2 + z^2 + w^2
\)
Betrachten wir nun die Quaternionen \( z = a + bi + cj + dk \), so ergibt \( z \bar{z} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \). Für \(n \in \mathbb{N}\) können wir \(n\) als das Normquadrat eines Quaternions auffassen, d.h., es existieren reelle Zahlen \(a, b, c, d\):
\(
n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2
\)
Dies zeigt, dass jeder ganzzahlige Wert \( n \in \mathbb{N} \) durch die Normierung eines entsprechenden Quaternionenwerts \( z \bar{z} \) als die Summe von vier Quadraten ausgedrückt werden kann, was auf das spezielles Set \( n \in \mathbb{Z} \times \mathbb{H} \) zurückzuführen ist.
Zusammenfassend kann jede natürliche Zahl \(n\) als Summe von vier Quadraten dargestellt werden, was äquivalent zur Norm eines Quaternionensats in \(\mathbb{H}\) ist.