Die Hamiltonschen Quaternionen H, bilden einen Ring mit 1. Zeigen Sie dass jedes z∈H

Question

Die HAMILTONschen Quaternionen \( \mathbb{H}=\{a+b i+c j+d k \mid a, b, c, d \in \mathbb{R}\} \), als Vektorraum isomorph zu \( \mathbb{x}^{4} \), bilden einen Ring mit 1 unter den Verknüpfungen

\( \begin{aligned} (a+b i+c j+d k)+\left(a^{\prime}+b^{\prime} i+c^{\prime} j+d^{\prime} k\right)=&\left(a+a^{\prime}\right)+\left(b+b^{\prime}\right) i+\left(c+c^{\prime}\right) j+\left(d+d^{\prime}\right) k, \\ (a+b i+c j+d k) \cdot\left(a^{\prime}+b^{\prime} i+c^{\prime} j+d^{\prime} k\right)=&\left(a a^{\prime}-b b^{\prime}-c c^{\prime}-d d^{\prime}\right)+\left(a b^{\prime}+b a^{\prime}+c d^{\prime}-d c^{\prime}\right) i \\ &+\left(a c^{\prime}-b d^{\prime}+c a^{\prime}+d b^{\prime}\right) j+\left(a d^{\prime}+b c^{\prime}-c t^{\prime}+d a^{\prime}\right) k . \end{aligned} \)

(1) Zeigen Sie, dass jedes \( z \in \mathbb{H} \backslash\{0\} \) ein multiplikativ Inverses \( z^{-1} \) besitzt.

(2) Ein klassischer Satz von LAGRANGE besagt, dass jede natürliche Zahl \( n \) sich als Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen schreiben läfst, wie z.B. \( 14=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2} \). Erläutern Sie, wie sich der allgemeine Satz auf den Spezialfall \( n \in \mathbb{I}^{\text {zurückführen }} \) läkt.

Tipp. Das Konjugierte eines Quaternions \( z=a+b i+c j+d k \in \mathbb{H} \) ist \( \bar{z}=a-b i-c j-d k \). Berechnen Sie zunächst \( z \bar{z} \), und zeigen Sie anschließend \( \overline{w z}=\bar{z} \bar{w} \) für \( w, z \in \mathbb{H} \).

Comments

Wenn dir der Tipp nicht weiterhilft, vielleicht die Matrizendarstellung hier: https://www.mathelounge.de/tag/quaternionen

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Teil 1: Multiplikatives Inverses in \(\mathbb{H}\)

Wir wollen zeigen, dass jedes \(z \in \mathbb{H} \setminus \{0\}\) ein multiplikatives Inverses besitzt. Zunächst definieren wir das Quaternion \(z\) und sein Konjugiertes \( \bar{z} \):

Sei \( z = a + b i + c j + d k \), dann ist das konjugierte Quaternion \(\bar{z} = a - b i - c j - d k\).

Wir berechnen zunächst \( z \bar{z} \):

\( z \bar{z} = (a + b i + c j + d k) (a - b i - c j - d k) \)

Nach der Definition der Multiplikation von Quaternionen:

\( z \bar{z} = a^2 - a(bi) - a(cj) - a(dk) + (bi)(-a) - (bi)(bi) - (bi)(cj) - (bi)(dk) + (cj)(-a) - (cj)(bi) - (cj)(cj) - (cj)(dk) + (dk)(-a) - (dk)(bi) - (dk)(cj) - (dk)(dk) \)

Vereinfacht das:
\( z \bar{z} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \)

Da \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\), ist \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge 0\) und \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \neq 0\) für \(z \neq 0\).

Das zeigt, dass \(z \bar{z}\) eine reelle Zahl ist und nicht null für \(z \neq 0\). Nun definieren wir das multiplikative Inverse von \(z\) als

\( z^{-1} = \frac{\bar{z}}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \)

Wir prüfen, ob \(z z^{-1} = 1\):

\( z z^{-1} = z \left( \frac{\bar{z}}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \right) = \frac{z \bar{z}}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} = 1 \)

Somit haben wir gezeigt, dass jedes \(z \in \mathbb{H} \setminus \{0\}\) ein multiplikatives Inverses besitzt.

Teil 2: Satz von Lagrange und Quaternionen

Ein klassischer Satz von Lagrange besagt, dass jede natürliche Zahl \( n \) sich als Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen schreiben lässt. Wir wollen diesen Satz in Bezug auf Quaternionen anwenden.

Sei \(n \in \mathbb{N}\). Dann gibt es ganzzahlige \( x, y, z, w \in \mathbb{Z} \) so dass:

\( n = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \)

Betrachten wir nun die Quaternionen \( z = a + bi + cj + dk \), so ergibt \( z \bar{z} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \). Für \(n \in \mathbb{N}\) können wir \(n\) als das Normquadrat eines Quaternions auffassen, d.h., es existieren reelle Zahlen \(a, b, c, d\):

\( n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \)

Dies zeigt, dass jeder ganzzahlige Wert \( n \in \mathbb{N} \) durch die Normierung eines entsprechenden Quaternionenwerts \( z \bar{z} \) als die Summe von vier Quadraten ausgedrückt werden kann, was auf das spezielles Set \( n \in \mathbb{Z} \times \mathbb{H} \) zurückzuführen ist.

Zusammenfassend kann jede natürliche Zahl \(n\) als Summe von vier Quadraten dargestellt werden, was äquivalent zur Norm eines Quaternionensats in \(\mathbb{H}\) ist.