Wann hat f(x)=x^4+bx^3+cx^2 doppelte Nullstellen?

Question

ehrlich gesagt verstehe ich nicht ganz was mit der Aufgabe gemeint ist. Unser Thema ist zur Zeit die Berechnung von Nullstellen.


Was muss ich bei der Aufgabe machen? Wie muss ich vorgehen?


Danke für die Hilfe!

Answer 1

Hi,

eine Doppelte Nullstelle hat das immer.

f(x) = x^4+bx^3+cx^2 = x^2(x^2+bx+c)

eine weitere doppelte Nullstellen hat das, wenn x^2+bx+c = 0 nochmals eine doppelte Nullstelle ergibt. Das findet man über die Diskriminante raus.

pq-Formel (Diskriminante)

(b/2)^2 - c = 0

b^2/4 = c, c>0

Liegt diese Abhängigkeit vor, hat man ein zweite doppelte Nullstelle.

Grüße

Comments

warum immer? und welche ist es?

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Welche das ist? Hängt davon ab wie Du b oder c wählst. Du kannst eine frei wählen die andere muss passend gemacht werden.

Und x^2 wurde doch ausgeklammert. Egal was mit b und c angestellt wird (außer b=0 und c=0) ist x^2 eine doppelte Nullstelle. Ist ja ein Faktor und ein Produkt ist dann Null, wenn es ein Faktor ist ;).

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Achso, heißt das denn, wenn ich eine andere Funktion hätte und würde z.B. x^3 ausklammern können, dann wäre x eine dreifache und wenn ich x^5 ausklammern kann wäre das eine fünffache Nullstelle?

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Wenn das möglich ist, ja,  dann wäre das immer eine dreifache bzw. fünffache Nullstelle.

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Ah, sehr schön, danke für deine Antwort! Ich bin übrigens nicht der Fragesteller sondern nur ein interessierter Mitleser, also nicht wundern, wenn noch weitere Fragen kommen. LG

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^^ Geht in Ordnung und gerne, eventuell helfen sie auch dem Fragesteller selbst :).

Grüße

Answer 2

Wann hat f(x)=x⁴+bx³+cx² doppelte Nullstellen?

Wenn du Nullstellen findest, kannst du das Polynom faktorisieren. Nullstelle n_s bedeutet mindestens einen Faktor (x - x_s)

Bei doppelten Nullstellen ist der zugehörige Linearfaktor quadratisch als (x-x_s)^2 im Polynom enthalten.

Nun zu f(x)=x⁴+bx³+cx²

= x^2 (x^2 + bx + c)

= (x-0)^2 (x^2 + bx + c)

Hier ist die Nullstelle x=0 mindestens eine doppelte Nullstelle. 

Nun musst du nur noch sicherstellen, dass (x^2 + bx + c) nicht auch noch 0 als Nullstelle hat.

Zudem: steht da doppelte Nullstellen?

Das -n bedingt, dass da noch eine zweite doppelte Nullstelle vorhanden sein muss.

(x^2 + bx + c) =0 muss als eine 'doppelte Lösung' haben.

Deshalb muss die Diskriminante D = b^2 - 4ac = 0 sein. vgl. Theorie zu quadratischen Gleichungen.

Weil a=1: Hier also b^2 = 4c. resp. b = ±2√c. Automatisch c ≥0

Die doppelte Nullstelle ist dann x_3,4 = 1/2 ( ±2√c  ± √0) = ± √c    soll jetzt nicht auch noch 0 sein.

Daher: Bedingung für doppelten Nullstellen ist c > 0 und b = ± √c