Matrix, Definitheit, stimtm alles?

Question

Wenn eine Matrix positiv definit ist, gilt doch, dass det ungleich 0 ist und dass sie invertierbar ist.

Stimmt alles?

Answer 1

Aloha :)

Eine positiv definite Matrix \(A\) hat ausschließlich positive Diagonalelemente und Eigenwerte. Die Matrix \(A\) ist invertierbar, d.h. \(\operatorname{det}(A)\ne0\) und die Inverse \(A^{-1}\) ist ebenfalls positiv definit.

Comments

Vielen Dank!

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$$ \begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix} $$ ist je nach Definition auch positiv definit. Die Eigenwerte sind aber nicht positiv, sondern liegen in ℂ\ℝ.

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Stimmt! Ich hätte bei den positiven Eigenwerten erwähnen sollen, dass die Äquivalenz

"positiv definit" \(\Leftrightarrow\) "positive Eigenwerte"

nur bei symmetrischen (hermiteschen) Matrizen gilt.

Danke für den Hinweis ;)