Aufgabe:
Auf einem Tisch liegen n absolut präzise gehende Analoguhren. Die Uhren können unterschiedlich groß sein und sind zufällig über den Tisch verteilt. Auch die Ziffernblätter sollen vollkommen zufällig ausgerichtet sein.
Zeigen Sie, dass es innerhalb einer Stunde mindestens einen Moment gibt, in dem die Summe der Abstände vom Tischmittelpunkt zu den Spitzen der n Minutenzeiger mindestens so groß ist wie die Summe der Entfernungen vom Tischmittelpunkt zu den Mittelpunkten der Ziffernblätter der Uhren.
Hinweis: Betrachten Sie geeignete Parametrisierungen für den von den Spitzen der Minutenzeiger durchlaufenen Weg und denken Sie daran, dass man Integrale zur Bildung von (kontinuierlichen) Mittelwerten verwenden kann.
Problem/Ansatz:
Ich hab mir zunächst Gedanken darüber gemacht, wie man die Position der Uhren und der Minutenzeiger darstellen kann:
$$ l \cdot e^{i\cdot 2 \pi \cdot \frac{75-t+x}{60}}+a\cdot e^{i\alpha} $$
Hierbei ist l die Länge des Minutenzeigers, t ist die vergangene Zeit in Minuten (also t∈[0,60]). x ist der Drehung der jeweiligen Uhr in Minuten. a ist der Abstand der Uhr zum Tischmittelpunkt, den ich als den Nullpunkt der komplexen Ebene definiert habe.
Ich hab mir zwei Parameterisierungen überlegt, die allerdings kaum helfen:
$$ \varphi:[0,60]\rightarrow[15-x, 75-x], t\rightarrow t+15-x, \quad für \; \; \Re(a \cdot e^{i\alpha})>0 $$
$$ \varphi:[0,60]\rightarrow[-15-x, 45-x], t\rightarrow t-15-x, \quad für \; \; \Re(a \cdot e^{i\alpha})<0 $$
