Analysis, analytische Geometrie- Wie lauten die Rechenmethoden?

Question

Aufgabe:

Die Grundfläche eines Spielplatzes liegt in der xy -Ebene. Darauf befindet sich eine Pyramide mit einer Seitenlänge von 4 m. Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt bei M(4|11|0). Die Höhe hat ebenfalls 4m.

Über den gesamten Spielplatz verläuft eine Seilbahn, von dem Punkt P(-2|-8|6) zum  Punkt Q(38|92|2). Der Durchhang des Seils kann vernachlässigt werden.

A1: Zeigen Sie, dass das Seil über der Grundfläche der Pyramide läuft.

A2: Beurteilen Sie, ob man beim Benutzen der Seilbahn gegen die Pyramide knallt.

A3: Die Sandfläche um die Pyramide soll erneuert werden. Diese Fläche ist vom Hang in der Ebene E: x+2 y + 6z = 14, der x-Achse sowie folgender Funktion begrenzt:

f(x)= - 1/25•x^3 + 1/4•x^2 + 1/2•x+14

—> Bestimmen Sie die Fläche des Sandes, die ersetzt werden muss

Problem/Ansatz:

Ich komme bei diesen Aufgaben auf keine anwendbare Rechenmethode. Integralrechnungen sind mir bekannt, dennoch ist mir nicht klar wie ich die Fläche abgrenze. Muss ich einfach nur die Fläche der angegebenen Funktion errechnen?

Answer 1

Zu A1:

Zeichne die Grundfläche der Pyramide in der xy-Ebene und die Projektion des Seils auf die xy-Ebene :

Wie ist diese Skizze entstanden? Wenn du das beantworten kannst, können wir weiter machen.

Comments

Hier wurden die Werte aus den Punkten nur von der x und Y Achse genommen und in ein normales (2D) Koordinatensystem geschrieben. Sehe ich das richtig? Dabei wäre meine Frage,  die Punkte der Seilbahn sind sehr hoch (38, 92), wie konnte man das so vereinfachen?

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Meine Skizze hast du richtig interpretiert. Damit wird Frage A1 beantwortet. Für die Beantwortung der Frage A2 brauchst du den Abstand der Pyramidenspitze von der Geraden durch P und Q. Stichwort/Suchwort: Abstand eines Punktes von einer Geraden.

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Damit wird Frage A1 beantwortet
Ganz so schnell geht es nicht.

Für die Beantwortung der Frage A2 brauchst du den Abstand der Pyramidenspitze von der Geraden durch P und Q
Das solltest du durch Nachrechnen verifizieren

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Mit dem "man" der Aufgabenstellung A2 können durchaus auch die Füße gemeint sein.

Text erkannt:

\( t \)

Deshalb heißt es dort "Beurteilen Sie".

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...  die Punkte der Seilbahn sind sehr hoch (38, 92), ...

was bedeuten denn die Koordinaten 38 und 92 - Deiner Meinung nach?

hast Du Dir die Szene im Geoknecht3D angeschaut (s. meine Antwort)? Die blaue Gerade stellt das Seil dar.

Answer 2

Hallo Hanti,

ist mir nicht klar wie ich die Fläche abgrenze. Muss ich einfach nur die Fläche der angegebenen Funktion errechnen?

Nein - es ist etwas mehr. Ein Bild sagt mehr als tausend Worte:

(klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3D)

IMHO ist die gesuchte Fläche, die zwischen der Schnittgeraden der grünen Ebene (Hang) mit der XY-Ebene, der Y-Achse (nicht X!) und des Polynoms, das ich oben versucht habe, als Folge von Punkten darzustellen. (teilweise rot).

In der XY-Ebene sähe es so aus:

~plot~ -(1/25)x^3+x^2/4+x/2+14;-x/2+7;[[-6|16|-1|22]];{4|11} ~plot~

Die Fläche zwischen dem blauen Graphen und der roten (Schnitt-)Geraden. Begrenzt noch durch die Y-Achse (nehme ich an). Und vergiss nicht die Grundfläche der Pyramide ab zu ziehen ;-)

zur Kontrolle: mein Ergebnis ist \(F \approx 103,67 - 4^2 = 87,67\)

Comments

Hallo,

vielen Dank erstmal und das Prinzip habe ich zunächst verstanden, jedoch versteh ich nicht ganz, wie ich die Begrenzung der Y-Achse mit in meine Berechnung einbeziehe.

Liebe Grüße

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jedoch versteh ich nicht ganz, wie ich die Begrenzung der Y-Achse mit in meine Berechnung einbeziehe.

Das ist der Beginn des Integrationsintervalls. Für alle Punkte auf der Y-Achse ist \(x=0\). Mal angenommen, der Schnittpunkt der beiden Graphen ist ca. bei \(10,3\) dann ist die Fläche \(F^*\) (inkl. Pyramide) das Integral von \(x=0\) (also der Y-Achse) bis \(10,3\) $$F^* = \int_{x=0}^{10,3} f(x) - s(x) \,\text dx$$ \(s(x)\) ist die Gleichung der Schnittgeraden Hangebene mit XY-Ebene.

~plot~ (x>0)*(-(1/25)x^3+x^2/4+x/2+14)*(x<10.3);(x>0)*(-x/2+7)*(x<10.3);[[-6|16|-1|22]];{4|11} ~plot~

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Hallo Hanti,

ich habe die Szene im Geoknecht3D noch mal erweitert. Es lohnt wirklich, sich das ganz genau anzuschauen! ;-)

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Dann erweitere sie jetzt noch so, dass man die Pyramide drehen kann, von einer Ausrichtung parallel zu den Koordinatenachsen steht nämlich nichts in der Aufgabe.

Welche Maße hast du für den Zylinder angesetzt ?
Da Punkt Q eine Höhe von 2m hat und Absprünge vermieden werden sollten, müsste die Zylinderhöhe wohl 2,50m sein?

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Welche Maße hast du für den Zylinder angesetzt ?

Klick auf das Bild, dann kannst Du die Maße rauslesen ;-) ... habe erstmal pauschal h=2 und r=0,8 angesetzt.

von einer Ausrichtung parallel zu den Koordinatenachsen steht nämlich nichts in der Aufgabe.

bei Schulaufgaben stehen die Pyramiden immer achsenparallel, solange nicht explizit was anderes da steht! Und das Auffinden der kritischen "Kante" eines runden Kegels würde Hanti vollends überfordern.