Wie löse ich die folgende Polynomgleichung?

Question

Liebe Community,

ich wende wieder mit einem Problem an euch. :)

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabenstellung:

"Zeigen Sie: Für alle \(n \in \mathbb{N}\) gibt es genau ein \(x(n) \in [0; \infty) \) mit \( x(n)^n + nx(n) - 1 = 0 \), und berechnen

Sie den Limes der Folge \(x: n \mapsto x(n) \)".

Das Problem liegt wahrscheinlich in meinem Verständnis, aber ich habe leider keinen Ansatz zu dieser Aufgabe.

Eine grobe Idee war, dass man die obige Gleichung \( x(n)^n + nx(n) - 1 = 0 \) nimmt und daraus die Abhängigkeit zwischen

\( n \ \& \ x(n)\) ausrechnet, indem man die Gleichung umformt. Wenn man nun die Gleichung umgeformt hat und die Abhängigkeiten kennt wäre der nächste Schritt den Limes, mithilfe der GWS, zu berechnen.

Mir ist kein weiterer Ansatz in den Sinn gekommen. Bin offen für Erklärungen und weitere Ansätze.

Danke.

Grüße

Matlab4Life

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Vielleicht hilft folgendes: Für die Funktion f(x)=xⁿ+nx-1 gilt f(0)=-1<0 und f(1/n)= 1/nⁿ>0 und f'(x)>0 für x>0.

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Danke dir für den Tipp :)

Answer 1

Mit dem Tipp von Spacko hast du doch:

Die Funktion mit  f(x)=x^n+nx-1 ist für x>0 streng monoton steigend

und hat bei 0 den Wert -1 und bei 1/n einen positiven Wert. Da sie stetig ist,

hat sie also zwischen 0 und 1/n eine Nullstelle, und wegen der Monotonie

ist das die einzige positive Nullstelle. Und diese Nullstelle ist das gesuchte x(n).

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Danke dir für den Tip :)

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Eine Frage hätte ich da noch. Wäre dann der Limes der Folge \(x\), welche \(n\) auf \(x(n)\) abbildet nicht \(= x(n)\) ?

Oder verstehe ich das wieder falsch?

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Grüße Matlab4Life

Answer 2

Hallo,

eine konkrete Formel für \(x(n)\) zu bestimmen wird wohl schwierig. Mache doch eine Kurvendiskussion auf$$\begin{aligned}y(x) &= x^n + nx - 1 \\ y'(x) &= n (x^{n-1} + 1 ) \\ y''(x) &= n(n-1)x^{n-2}\end{aligned}$$Daraus folgt, dass \(y'(x=0) \gt 0\). Weiter existiert kein Extremum für \(x >0\). Zusammen mit \(y(0) = -1, \space \forall n\) folgt daraus, dass es genau eine Nullstelle im Intervall \(x \in [0;\infty)\) gibt und damit auch nur ein \(x(n)\), welches die Gleichung oben erfüllt.

\(x(1)\) und \(x(2)\) kann man berechnen$$\begin{aligned} x(1)^1 + 1 \cdot x(1) - 1 &= 0 \\ \implies x(1) &= \frac 12 \\ x(2)^2 + 2 \cdot x(2) - 1 &= 0 \\ x(2) &= \sqrt 2 -1 \end{aligned}$$und als Graphen weitere Funktionen darstellen

~plot~ 2x-1;x^2+2x-1;x^3+3x-1;x^4+4x-1;x^5+5x-1;[[-0.5|2|-1.2|1.5]] ~plot~

das nährt doch den Verdacht, dass $$\lim_{n \to \infty} x(n) = 0$$ ist - oder?

Versuche doch zunächst zu beweisen, dass \(x(n+1) \lt x(n)\) ist ...

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Danke dir für den Tip :)