Finden Sie eine obere Dreiecksmatrix

Question

Sei A =
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\ 0 & I & 0\\ 2 & 2-i & i\end{pmatrix}$ Finden Sie eine obere Dreiecksmatrix
C ∈ M₃(C), die zu A ähnlich ist, und eine invertierbare Matrix S mit C = S⁻¹AS.

Mein Problem ist, das ich mit komplexen Matrizen noch nie im Ansatz auch nur gerechnet habe. Ich wäre euch über Hilfe sehr dankbar.

Answer 1

Hm,

ist das eine 1 in der Mitte?

Mit |C rechnest Du ganz normal und berücksichtigst an geeigneter Stelle dass i²=-1 ist.

Offensichtlich ist die Jordannormalform gemeint. Also Eigenwerte

EW={1,1,i}

und Eigenvektoren bestimmen. Zum EW 1 ist eine Hauptvektorsuche notwendig - kannst Du damit was anfangen? Die Ergebnisse zur Kontrolle wären:

$\small S:= \left(\begin{array}{rrr}3 - 3 \; ί&3&0\\0&1 - ί&0\\6&2 - ί&ί\\\end{array}\right)$

$\small D:= \left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\0&1&0\\0&0&ί\\\end{array}\right)$

mit S^-1 A S =D

Comments

Hallo, es soll leider ein i in der Mitte sein.

Mit der hauptvektorsuche kann ich leider nichts anfangen. Würdest du mir es vielleicht bitte erklären?

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Ajee, dann ist das nicht gerade eine Aufgabe zur Einführung in die Jordannormalform. Lies das Thema erstmal nach (Beispiele in R-SUFU mathelonge) und stelle ggf. dazu Deine Fragen. Ich kann das nicht von 0 auf 100 hier ausbreiten - ist ein sehr komlexes Thema nicht nur wegen |C...

Also dann mit i in der Mitte: (die wesenlichen Schritte)

EW-Eigenwert, ER-Eigenraum, HV-Hauptvektor, RRef-Zeilenstufenform, Det-Determinante

$\small \operatorname{Det}(A-\lambda \cdot E)=(1-\lambda) \cdot(i-\lambda)^{2}=0$
$\small \lambda=\left[\begin{array}{l}1 \\ i\end{array}\right]$

EW1=1  einfach ==> alge. Vielfachheit 1  /\  geom. Vielfachheit 1

$\small E V 1:=\left(\begin{array}{ll}A-\lambda_{1} \cdot E\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}0 & 3 & 0 \\ 0 & -1+i & 0 \\ 2 & 2-i & -1+i\end{array}\right]$

$\small E R 1:=\operatorname{RRef}(E V 1)=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -0,5+0,5 \cdot i \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

EV1 x3=1,x2=0 ==> x1=(1-i)

$\small E V_{1}=(2 \cdot(\operatorname{LRRef}(E R 1)))_{3}=\left[\begin{array}{c}1-i \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$

EW2=i  doppelt ==> alge. Vielfachheit 2  /\  geom. Vielfachheit 1

Hauptvektorsuche: Dim ER = 1===> 2 HV zu EW2

$\small E R 2:=\left(A-\lambda_{2} \cdot E \right)^{2} =\left[\begin{array}{ccc}-2 \cdot i & 3-3 \cdot i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2-2 \cdot i & 6 & 0\end{array}\right] \\\small E R 21:=\operatorname{RRef}(E R 2)=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1,5+1,5 \cdot i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

 EV2 ==> x2=1 ==> x1=(-3-3i)/2 /\ x3=1

\[\small
\begin{array}{l}
\text {HVKandidaten }:=\text {LRRef }(\text {ER} 21)_{3}=\left[\begin{array}{cc}
-1,5-1,5 \cdot \mathrm{i} & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right] \\
\text {HVKern }:= \left(\begin{array}{cc}
A-\lambda_{2} \cdot E
\end{array}\right)^{1} \cdot \text { HVKandidaten }=\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
-1-4 \cdot \mathrm{i} & 0
\end{array}\right]
\end{array}
\]
HV Kandidat 1  ∉  HVKern $===>$
\[\small H V 2:=2 \cdot \operatorname{col}(\text {HVKandidaten} ; 1)=\left[\begin{array}{c}
-3-3 \cdot \mathrm{i} \\
2 \\
0
\end{array}\right]\]
\[\small
H V 1:=\left(A-\lambda_{2} \cdot E\right) \cdot H V 2=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
-2-8 \cdot i
\end{array}\right]
\]

$\small T:= \left[\begin{array}{ccc}1-i & 0 & -3-3 \cdot i \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & -2-8 \cdot i & 0\end{array}\right]$

$\small T^{-1} \cdot A \cdot T=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & i & 1 \\ 0 & 0 & i\end{array}\right]$

---

Super, danke für deine ausführliche Erklärung. Eine Frage hätte ich allerdings noch. Vielleicht bist du ja so nett und beantwortest sie mir:

Wenn ich für mein Eigenwert i versuche den span auszurechnen, erhalte ich als Vektor $\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$

hier ist die geometrische vielfacheit 1, also kleiner als die algebraische vielfachheit.

Daher bestimme ich nun den Hauptvektor.

Wenn ich jetzt den span für (A-λE)^2 berechne erhalte ich $\begin{pmatrix} -3-3i\\2\\0 \end{pmatrix}$. aber wäre ich dann nicht fertig und hätte am Ende die Matrix

$\begin{pmatrix} 1-i & 0 & -3-3i \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ?

Irgendwo habe ich wahrscheinlich noch einen Denkfehler.

Lg Maxi

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Hm,

ich kann Dir nicht unbedingt folgen...

Die HV suche beginnt mit Potenzen von

(A-λE)^N

wobei N so eingestellt werden muss, dass die Dim. der Lösung (=HVKandidaten ) des dazugehörigen LGS der Dimension des zu λ gehörenden Eigenraumes entspricht. Hier ist das der Fall für N=2 um eine 2 DimLösung (2 Vektoren) für die HV zu finden!

Aus den HVKandidaten muss ein EV gewählt werden der nicht im KERN von

(A-λE)^N-1 

liegt. Nur der Vektor in der 1. Spalte HV2=col(HVKandidaten;1) ist ein HV - der andere liegt im Kern von (A-λE)^N-1 . Mit diesem "Start-HV" kann man sich nun "nach vorn" arbeiten und im Idealfall (HV der 1. Stufe reichen aus) die Dimension des Eigenraumes auffüllen.

HV_i-1 = (A-λE) HV_i

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Ok. Unsere Übungsleiterin hat uns heute morgen noch als Tipp für die Aufgabe gegeben, das zwei vektoren eigenvektoren von A sein müssen. Deshalb überlege ich halt zur Zeit, welches diese beiden sind.  Der eine ist klar, dieser lautet $\begin{pmatrix} 1-i\\0\\2\end{pmatrix}$ aber wie lautet der zweite Eigenvektor? $\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$?

Der dritte Vektor der Basis ist dann wieder klar, dieser lautet nach Hauptvektorsuche $\begin{pmatrix} -3-3i\\2\\0 \end{pmatrix}$

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Genauer zum EW i muss der Eigenraum Dim 2 haben.

An der Stelle

$\small \begin{array}{l} \text {HVKandidaten }:=\text {LRRef }(\text {ER} 21)_{3}=\left[\begin{array}{cc} -1,5-1,5 \cdot \mathrm{i} & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ \text {HVKern }:= \left(\begin{array}{cc} A-\lambda_{2} \cdot E \end{array}\right)^{1} \cdot \text { HVKandidaten }=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ -1-4 \cdot \mathrm{i} & 0 \end{array}\right] \end{array}$

wirft die Lösung des LGS (A-λE)² zwei Kandidaten als Hauptvektoren aus.

Wobei der zweite (0,0,1) aber im Kern von  (A-λE) landet

(A-λE)(0,0,1)=(0,0,0)

(jeweils die 2.Spalte von HVKandidaten und HVKern betrachten) und scheidet als HV aus! Es kann nicht sein das EV/HV auf die (0,0,0) abgebildet werden - dann sind sie keine Eigenvektoren für die gelten soll A EV =  λ EV !

Damit haben wir einen HV (erste Spalte HVKandidaten und HVKern)

HV2=(-3/2-3/2 i,1,0) gefunden und setzen den ein in

HV1= (A-λE) HV2 = (0,0,-1-4i)

und erhalten den 2. HV - wobei der zuletzt ermittelte HV1 der erste in der Matrix T ist!

Für den EW 1 haben wir ja einen "echten" EV, der zusammen mit den 2 HV's eine Basis des Eigenraumes bildet.

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Super, danke. Jetzt hab ich es verstanden. Könntest du mir vielleicht noch neu der Aufgabe helfen? Ich würde mich sehr freuen.

https://www.mathelounge.de/734567/finden-sie-alle-a-invariante-unter…