Ajee, dann ist das nicht gerade eine Aufgabe zur Einführung in die Jordannormalform. Lies das Thema erstmal nach (Beispiele in R-SUFU mathelonge) und stelle ggf. dazu Deine Fragen. Ich kann das nicht von 0 auf 100 hier ausbreiten - ist ein sehr komlexes Thema nicht nur wegen |C...
Also dann mit i in der Mitte: (die wesenlichen Schritte)
EW-Eigenwert, ER-Eigenraum, HV-Hauptvektor, RRef-Zeilenstufenform, Det-Determinante
\(\small \operatorname{Det}(A-\lambda \cdot E)=(1-\lambda) \cdot(i-\lambda)^{2}=0 \)
\(\small \lambda=\left[\begin{array}{l}1 \\ i\end{array}\right] \)
EW1=1 einfach ==> alge. Vielfachheit 1 /\ geom. Vielfachheit 1
\(\small E V 1:=\left(\begin{array}{ll}A-\lambda_{1} \cdot E\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}0 & 3 & 0 \\ 0 & -1+i & 0 \\ 2 & 2-i & -1+i\end{array}\right] \)
\(\small E R 1:=\operatorname{RRef}(E V 1)=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -0,5+0,5 \cdot i \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \)
EV1 x3=1,x2=0 ==> x1=(1-i)
\(\small E V_{1}=(2 \cdot(\operatorname{LRRef}(E R 1)))_{3}=\left[\begin{array}{c}1-i \\ 0 \\ 2\end{array}\right] \)
EW2=i doppelt ==> alge. Vielfachheit 2 /\ geom. Vielfachheit 1
Hauptvektorsuche: Dim ER = 1===> 2 HV zu EW2
\(\small E R 2:=\left(A-\lambda_{2} \cdot E \right)^{2} =\left[\begin{array}{ccc}-2 \cdot i & 3-3 \cdot i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2-2 \cdot i & 6 & 0\end{array}\right] \\\small E R 21:=\operatorname{RRef}(E R 2)=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1,5+1,5 \cdot i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \)
EV2 ==> x2=1 ==> x1=(-3-3i)/2 /\ x3=1
\[\small
\begin{array}{l}
\text {HVKandidaten }:=\text {LRRef }(\text {ER} 21)_{3}=\left[\begin{array}{cc}
-1,5-1,5 \cdot \mathrm{i} & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right] \\
\text {HVKern }:= \left(\begin{array}{cc}
A-\lambda_{2} \cdot E
\end{array}\right)^{1} \cdot \text { HVKandidaten }=\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
-1-4 \cdot \mathrm{i} & 0
\end{array}\right]
\end{array}
\]
HV Kandidat 1 ∉ HVKern \( ===> \)
\[\small H V 2:=2 \cdot \operatorname{col}(\text {HVKandidaten} ; 1)=\left[\begin{array}{c}
-3-3 \cdot \mathrm{i} \\
2 \\
0
\end{array}\right]\]
\[\small
H V 1:=\left(A-\lambda_{2} \cdot E\right) \cdot H V 2=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
-2-8 \cdot i
\end{array}\right]
\]
\(\small T:= \left[\begin{array}{ccc}1-i & 0 & -3-3 \cdot i \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & -2-8 \cdot i & 0\end{array}\right] \)
\(\small T^{-1} \cdot A \cdot T=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & i & 1 \\ 0 & 0 & i\end{array}\right] \)
