Zeigen Sie, dass dann \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A \cap B) und \mathcal{P}(A) \cup …

Question

2. Seien \( A, B \) Mengen. Zeigen Sie, dass dann \( \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A \cap B) \) und \( \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A \cup B) \) gilt. Geben Sie ein einfaches Beispiel dafür an, dass im zweiten Fall im Allgemeinen keine Gleichheit gilt.

Answer 1

P(A)∩P(B)=P(A∩B)

Sei X∈P(A)∩P(B)

==>  X∈P(A) und X∈P(B)

==>   X⊆A und X⊆B

==>  Für alle z∈X gilt  z∈A und z∈B

==>  Für alle z∈X gilt  z∈A∩B

==>  X⊆A∩B

==>  X∈P(A∩B).

Entsprechend auch zeigen:

 X∈P(A∩B). ==>  X∈P(A)∩P(B).

Bei  P(A)∪P(B)⊂P(A∪B)

kannst du das wohl übertragen und

ein Gegenbeispiel zu P(A)∪P(B)=P(A∪B)

wäre A={1;2}   B={1;3} ==> da ist

{1;2;3}∈P(A∪B)  aber nicht in  P(A)∪P(B).