Flächeninhalt mit Integralrechnung berechnen

Question

Hi,


komme bei folgender Aufgabe nicht auf den Flächeninhalt:

"Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das von den Schaubildern der Funktionen f(x) = x²+9 und g(x) = x^4+x²+1 begrenzt wird.


Meine Rechnung:

Schnittpunkte: +- 4√8

A = ∫0-4√8(x²+9-(x^4+x²+1)dx

[(x^3/3+9x) - (x^5/5+x^3/3+x)]0-4√8 dx

= 10,76*2

= 21,53

Answer 1

Hi Afrob,

wie kommst Du denn zu Deinen Nullstellen? Und warum integrierst Du nicht von der einen zur anderen Nullstelle, sondern von 0 bis zur zweiten? Oder hast Du am Ende mit 2 multipliziert? (Dann passt das Gleichheitszeichen nicht)

 

x^2+9 = x^4+x^2+1   |-x^2-1

x^4 = 8        |4te Wurzel

x = ±2^{3/4}

 

Also ist von -2^{3/4} bis 2^{3/4} zu integrieren, bzw. von 0 bis 2^{3/4} und das ganze zu verdoppeln.

∫₀^{2^{3/4}} 8-x^4 = [8x-x^5/5]₀^{2^{3/4}} ≈ 10,765

--> 2*10,765 = 21,53

 

Grüße

Comments

Hi Unknown,

 

wieso sprichst du von Nullstellen? Ich habe die Schnittpunkte von g(x) und f(x) berechnet. Und ja, ich habe das Ergebnis mit 2 multipliziert. Muss ich es also so schreiben A = 2* ∫0-4√8(x²+9-(x⁴+x²+1)dx, damit das mit dem Gleichheitszeichen stimmt?

 

G

---

Schnittstellen meinte ich ja ;). Zum Lösen dieser geht man ja über die Nullstellen von der neukreierten Funktion h(x) = g(x)-f(x) = 0 ^^.


Yup, dann wäre es richtig, würde Deine Grenze stimmen.

---

okay :)

Noch eine Kleinigkeit: Wie bist du von 1,68 ... auf 2^3/4 gekommen? Und woher weiß ich, ob ich f(x) - g(x) oder g(x) - f(x) rechnen sollte?


Gruß

---

Du meinst eher, wie ich generell auf 2^{3/4} gekommen bin? 1,68 erwähne ich nicht.

Nun:

x^4 = 8

x⁴ = 2^3        |4te Wurzel

x = ±(2^3)^{1/4}

x = ±2^{3/4}

 

ok?! ;)

 

Und ob f(x) - g(x) oder g(x) - f(x) ist wurscht.

Man nimmt letztlich ohnehin den Betrag, da eine Fläche immer positiv ist!