Sei A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) ∈ M4(R).
a) Zeigen Sie: pA(X) = (X2 + 1)(X2 + 2).
Hinweis: Beim Gauß-Verfahren zur Berechnung der Determinante von XE4 − A
könnten Sie Zeilen 4 und dann 2 verwenden, um Zeile 1 zu vereinfachen.
b) Weisen Sie nach, dass A zerlegbar ist, indem Sie Lemma 19.3:
Sei A ∈ Mn(k), und sei p ∈ k[X] ein Polynom mit p(A) = 0. Angenommen p(X) = f(X)g(X), mit f, g ∈ k[X] und ggT(f, g) = 1. Dann sind U := LR(f(A), 0)
anwenden, um A-invariante Untervektorräume U, W ⊆ R zu finden mit k4 = U ⊕ W und dim(U) = dim(W) = 2. Geben Sie Basen für U und W an.
c) Finden Sie Matrizen A1, A2 ∈ M2(R) und eine invertierbare Matrix S ∈ M4(R) mit S−1AS = BD(A1, A2).
Hallo, Aufgabe a.) hab ich gelöst bekommen. könnte mir jemand bei b und c helfen?
