Zeigen Sie: pA(X) = (X2 + 1)(X2 + 2).

Question

Sei A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) ∈ M4(R).

a) Zeigen Sie: pA(X) = (X2 + 1)(X2 + 2).
Hinweis: Beim Gauß-Verfahren zur Berechnung der Determinante von XE₄ − A
könnten Sie Zeilen 4 und dann 2 verwenden, um Zeile 1 zu vereinfachen.

b) Weisen Sie nach, dass A zerlegbar ist, indem Sie Lemma 19.3:

Sei A ∈ M_n(k), und sei p ∈ k[X] ein Polynom mit p(A) = 0. Angenommen p(X) = f(X)g(X), mit f, g ∈ k[X] und ggT(f, g) = 1. Dann sind U := LR(f(A), 0) 

anwenden, um A-invariante Untervektorräume U, W ⊆ R zu finden mit k4 = U ⊕ W und dim(U) = dim(W) = 2. Geben Sie Basen für U und W an.

c) Finden Sie Matrizen A₁, A₂ ∈ M₂(R) und eine invertierbare Matrix S ∈ M₄(R) mit S⁻¹AS = BD(A₁, A₂).

Hallo, Aufgabe a.) hab ich gelöst bekommen. könnte mir jemand bei b und c helfen?