Antwort mit KI erzeugt
a) Bestimmen Sie \( K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} \) und \( K_{\mathcal{B}_{2}} \).
Zunächst müssen wir die Koordinatenabbildung \( K_{\mathcal{B}_{1}} \) und \( K_{\mathcal{B}_{2}} \) bestimmen. Diese Abbildungen transformieren ein Polynom in seine Koordinaten bezüglich der gegebenen Basen.
Für die Basis \(\mathcal{B}_{1} = \{4x^2 - x + 2, 2, x\}\):
1. Koordinatenabbildung \( K_{\mathcal{B}_{1}} \):
Wenn wir ein Polynom \( p(x) = a x^2 + b x + c \) betrachten, möchten wir die Koordinaten bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \) finden. Das bedeutet, wir schreiben \( p(x) \) als Linearkombination der Basisvektoren in \( \mathcal{B}_{1} \).
\(p(x) = \alpha_1 (4x^2 - x + 2) + \alpha_2 (2) + \alpha_3 (x)\)
Das Koordinatenvektor von \( p(x) \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \) ist dann \( \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{bmatrix} \).
2. Bestimmen von \(K_{\mathcal{B}_{1}}\):
Um diese Transformation zu bestimmen, schauen wir uns die Standardbasis \( \{x^2, x, 1\} \) und die Basis \( \mathcal{B}_{1} \) an:
\(
K_{\mathcal{B}_{1}} = \begin{bmatrix}
4 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\)
3. Berechnen von \( K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} \):
Für die Inverse:
\(
\text{Inverse der Matrix} \; K_{\mathcal{B}_{1}}, \quad K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} = \left( \text{Matrix-Inversion berechnen} \right)
\)
Nach Berechnung der Inverse, erhalten wir:
\(
K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} = \begin{bmatrix}
0.25 & 0 & 0 \\
0.125 & 0 & 0.5 \\
-0.125 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\)
4. Koordinatenabbildung \( K_{\mathcal{B}_{2}} \):
Analog gehen wir für die Basis \( \mathcal{B}_{2} \) vor:
\(\mathcal{B}_{2} = \{2x^2, x^2 + x, 1\}\). Bestimmen von \( K_{\mathcal{B}_{2}} \) ergibt:
\(
K_{\mathcal{B}_{2}} = \begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\)
b) Bestimmen Sie \( L_{\mathcal{B}_{2}} \).
Um \( L_{\mathcal{B}_{2}} \) zu bestimmen, müssen wir einen Basiswechsel machen:
\(
L_{\mathcal{B}_{2}} = K_{\mathcal{B}_{2}}^{-1} \times L_{\mathcal{B}_{1}} \times K_{\mathcal{B}_{1}}
\)
Mit den berechneten Matrizen:
\(
L_{\mathcal{B}_{2}} = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
3 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
0.25 & 0 & 0 \\
0.125 & 0 & 0.5 \\
-0.125 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\)
Mit dieser Matrixmultiplikation erhalten wir die darstellende Matrix \( L_{\mathcal{B}_{2}} \).
c) Berechnen Sie \( L(p) \) für das Polynom \( p = -4x^2 + 2x - 3 \in \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \).
1. Bestimme den Koordinatenvektor von \( p \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \):
\( p = -4x^2 + 2x - 3 \)
Koordinaten: \(\begin{bmatrix} -4 & 2 & -3 \end{bmatrix}^T\).
2. Wende die Matrix \(L_{\mathcal{B}_{1}}\) auf den Koordinatenvektor an:
\( \vec{p}_{\mathcal{B}_{1}} = L_{\mathcal{B}_{1}} \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} \)
\( \vec{p}_{\mathcal{B}_{2}} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} \)
Multipliziere:
\( \vec{p}_{\mathcal{B}_{2}} = \begin{bmatrix} -10 \\ -4 \\ -4 \end{bmatrix} \)
Das Polynom \( L(p) \) ist folglich:
\( L(p) = -10 (2x^2) + (-4)(x^2 + x) + (-4) \)
Vereinfache:
\( L(p) = -20x^2 -4x^2 -4x -4 \)
\( L(p) = -24x^2 - 4x - 4 \)
Somit ist \( L(p) = -24x^2 - 4x - 4 \).