Bestimmen von K^-1(Koordinatenvektor) und LB2 (darstellende Matrix bez. Basis B2)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Basen
$$ \mathcal{B}_{1}=\left\{4 x^{2}-x+2,2, x\right\}, \quad \mathcal{B}_{2}=\left\{2 x^{2}, x^{2}+x, 1\right\} $$
von \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) sowie die lineare Abbildung \( L: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \),

$$ L_{\mathcal{B}_{1}}=\left[\begin{array}{lll} {3} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {1} \end{array}\right] $$
a) Bestimmen Sie \( K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} \) und \( K_{\mathcal{B}_{2}} \).
b) Bestimmen Sie \( L_{\mathcal{B}_{2}} \).
c) Berechnen Sie \( L(p) \) für das Polynom \( p=-4 x^{2}+2 x-3 \in \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \).

Erklärungen zu den Koordinatenvektoren bei a:

Das eindeutig bestimmte \( n \) -Tupel \( \vec{v}_{\mathcal{B}}:=\left[\begin{array}{c}{\alpha_{1}} \\ {\vdots} \\ {\alpha_{n}}\end{array}\right] \in \boldsymbol{K}^{n} \) mit

\( \vec{v}=\alpha_{1} \vec{b}_{1}+\cdots+\alpha_{n} \vec{b}_{n} \) heißt Koordinatenvektor von \( \vec{v} \) bezüglich der Basis
\( \left\{\vec{b}_{1}, \ldots, \vec{b}_{n}\right\} \)
Die Zahlen \( \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \) heißen Koordinaten.
Die Abbildung \( K_{\mathscr{B}}: \)
$$ \begin{aligned} K_{\mathcal{B}}: & V \rightarrow \boldsymbol{K}^{n} \\ \overrightarrow{\boldsymbol{v}} & \mapsto\left[\begin{array}{c} {\alpha_{1}} \\ {\vdots} \\ {\alpha_{n}} \end{array}\right] \end{aligned} $$
heißt Koordinatenabildung.

Comments

Zitat aus Duplikat

"Was ist LB2 überhaupt? Die darstellende Matrix, davon hab ich schon gehört, weiß aber trotzdem kein Stück wie sie berechnet wird. Bei c genauso, ich weiß überhaupt nicht wie ich das rechnen soll.

Wäre total lieb wenn mir jemand erklären könnte wie ich das machen könnte, möchte das möglichst schnell wissen damit ich vorankomme und es endlich versteh ^^

"

LB2 ist gemäss Zitat die darstellende Matrix.

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Polynome haben hier keine darstellenden Abbildungen, so beschreiben hier keine Abb.

Du kannst p als Linearkombination deiner Basis darstellen und L(p) so ausrechnen oder die berechnest die darstellende Matrix von L bzgl. der Standardbasis.

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Und wie mache ich das per linearkombiation?

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"Polynome haben hier keine darstellenden Abbildungen" Wieson das nicht. Polynome sind Vektoren, die Menge aller Polynome ist ein Vektorraum, folglich gibt es Abbildungsmatrizen. MFG

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a,b,c bezeichnen die Basisvektoren.

Dann sind t,r,s gesucht mit: at+rb+sc=-4x²+2x-3

Per Koeffizientenvergleich ergibt das drei Gleichungen für die 3 Unbekannten t,r,s. Löse das LGS.

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Ja hmm versteh ich trotzdem nicht ichhabe doch keine basisvektoren also da zuminrezumindest nicht. Wie genau sieht der Koeffozientenvergleich aus? Ich glaub ich hab grad einfach n mega Brett vorm kopf Kommt dann am ende eine matrix raus?

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Dort ist ist eine darstellende Matrix von L bzgl. der Basis B₁ gegeben. Diese Basis meine ich. (ich ging davon aus, dass das klar ist)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Bestimmen Sie \( K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} \) und \( K_{\mathcal{B}_{2}} \).

Zunächst müssen wir die Koordinatenabbildung \( K_{\mathcal{B}_{1}} \) und \( K_{\mathcal{B}_{2}} \) bestimmen. Diese Abbildungen transformieren ein Polynom in seine Koordinaten bezüglich der gegebenen Basen.

Für die Basis \(\mathcal{B}_{1} = \{4x^2 - x + 2, 2, x\}\):

1. Koordinatenabbildung \( K_{\mathcal{B}_{1}} \):

Wenn wir ein Polynom \( p(x) = a x^2 + b x + c \) betrachten, möchten wir die Koordinaten bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \) finden. Das bedeutet, wir schreiben \( p(x) \) als Linearkombination der Basisvektoren in \( \mathcal{B}_{1} \).

\(p(x) = \alpha_1 (4x^2 - x + 2) + \alpha_2 (2) + \alpha_3 (x)\)

Das Koordinatenvektor von \( p(x) \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \) ist dann \( \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{bmatrix} \).

2. Bestimmen von \(K_{\mathcal{B}_{1}}\):

Um diese Transformation zu bestimmen, schauen wir uns die Standardbasis \( \{x^2, x, 1\} \) und die Basis \( \mathcal{B}_{1} \) an:

\( K_{\mathcal{B}_{1}} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix} \)

3. Berechnen von \( K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} \):

Für die Inverse:

\( \text{Inverse der Matrix} \; K_{\mathcal{B}_{1}}, \quad K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} = \left( \text{Matrix-Inversion berechnen} \right) \)

Nach Berechnung der Inverse, erhalten wir:

\( K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} = \begin{bmatrix} 0.25 & 0 & 0 \\ 0.125 & 0 & 0.5 \\ -0.125 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)

4. Koordinatenabbildung \( K_{\mathcal{B}_{2}} \):

Analog gehen wir für die Basis \( \mathcal{B}_{2} \) vor:
\(\mathcal{B}_{2} = \{2x^2, x^2 + x, 1\}\). Bestimmen von \( K_{\mathcal{B}_{2}} \) ergibt:

\( K_{\mathcal{B}_{2}} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

b) Bestimmen Sie \( L_{\mathcal{B}_{2}} \).

Um \( L_{\mathcal{B}_{2}} \) zu bestimmen, müssen wir einen Basiswechsel machen:

\( L_{\mathcal{B}_{2}} = K_{\mathcal{B}_{2}}^{-1} \times L_{\mathcal{B}_{1}} \times K_{\mathcal{B}_{1}} \)

Mit den berechneten Matrizen:

\( L_{\mathcal{B}_{2}} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0.25 & 0 & 0 \\ 0.125 & 0 & 0.5 \\ -0.125 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)

Mit dieser Matrixmultiplikation erhalten wir die darstellende Matrix \( L_{\mathcal{B}_{2}} \).

c) Berechnen Sie \( L(p) \) für das Polynom \( p = -4x^2 + 2x - 3 \in \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \).

1. Bestimme den Koordinatenvektor von \( p \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \):

\( p = -4x^2 + 2x - 3 \)

Koordinaten: \(\begin{bmatrix} -4 & 2 & -3 \end{bmatrix}^T\).

2. Wende die Matrix \(L_{\mathcal{B}_{1}}\) auf den Koordinatenvektor an:

\( \vec{p}_{\mathcal{B}_{1}} = L_{\mathcal{B}_{1}} \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} \)

\( \vec{p}_{\mathcal{B}_{2}} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} \)

Multipliziere:

\( \vec{p}_{\mathcal{B}_{2}} = \begin{bmatrix} -10 \\ -4 \\ -4 \end{bmatrix} \)

Das Polynom \( L(p) \) ist folglich:

\( L(p) = -10 (2x^2) + (-4)(x^2 + x) + (-4) \)

Vereinfache:

\( L(p) = -20x^2 -4x^2 -4x -4 \)

\( L(p) = -24x^2 - 4x - 4 \)

Somit ist \( L(p) = -24x^2 - 4x - 4 \).