Existenz von Grenzwerten mit Begründung

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Grenzwerte existieren (Divergenzen eingeschlossen)? Begründen Sie Ihre Antwort und berechnen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte.

$$ \begin{array} { l } { \text { (a) } \lim \limits _ { x \mapsto - 2 } \frac { 1 } { ( x + 2 ) ^ { 3 } } } \\ { \text { (b) } \lim \limits _ { x \mapsto - 1 } \frac { 1 } { ( y + 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { \text { (c) } \lim \limits _ { y \mapsto 1 } \frac { 8 y ^ { 5 } + 3 y ^ { 2 } } { 3 + 4 y ^ { 5 } } } \\ { \text { (d) } \lim \limits _ { z \mapsto \infty } \frac { z ^ { 3 } } { ( 1 + z ) ^ { 2 } } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { \text { (e) } \lim \limits _ { z \mapsto \infty } \frac { 12 z ^ { 7 } - 50 z ^ { 3 } } { 36 z ^ { 7 } } } \\ { \text { (f) } \lim \limits _ { y \mapsto 0 } ( \operatorname { sign } ( y ) ) ^ { 2 } } \\ { \text { (g) } \lim \limits _ { n \rightarrow 0 } \frac { t ^ { 4 } + 2 t ^ { 2 } } { 3 t ^ { 4 } } } \end{array} $$

Lösungsvorschläge:

a) GW exsistiert, =0, da Nennergrad größer ist als Zählergrad

b) GW exsistiert, =0, da Nennergrad größer ist als Zählergrad

c) GW exsistiert, =1/2, da Nennergrad und Zählergrad gleich sind

d) GW exsistiert nicht, =∞, da Zählergrad größer ist als Nennergrad

e) GW exsistiert, =1/3, da Nennergrad und Zählergrad gleich sind

f) GW exsistiert nicht, da die Signumfunktion an der Stelle 0 nicht definiert ist

g) GW exsistiert, =1/3, da Nennergrad und Zählergrad gleich sind

Ist das korrekt? Reicht für die Berechnung aus die Aufgabe aufzuschreiben, dann "=" und das Ergebnis zu schreiben? Oder muss man es mit der h-Methode berechnen?

Answer 1

Hi Robbie,

a) Dein Lösungsvorschlag passt nicht. Wir untersuchen nicht auf x->∞ (dann hättest Du recht), sonder x->-2

Da der Exponent im Nenner ungerade ist, haben wir einen Vorzeichenwechsel bei der Polstelle und damit keinen Grenzwert.

 

b) Beidseitger Grenzwert ist gleich (gerader Exponent) -> ∞ (es muss wohl 1/(x+1)^2 heißen)

 

c) Auch hier hast Du nicht geschaut wogegen wir streben (es wäre ohnehin 2 gewesen und nicht 1/2).

Da y = 1 keine Problemstelle ist einfach einsetzen -> 11/7

 

d) richtig

 

e) richtig

 

f) Oo Gerade weil es nicht definiert ist, arbeiten wir ja mit dem Grenzwert...

Da sign(y) quadratisch vorkommt, haben wir den rechts und linksseitigen Grenzwert 1. , exisitiert also

 

g) Wir gehen wieder gegen 0. Dividiere durch die höchste Potenz:

(1+2/t^2)/3 = 1/3+2/(3t^2) für t ->0 ist das ∞

 

Achte also unbedingt wonach Du strebst. Es ist nicht immer ∞, dazu hätte Deine Argumentation meist gepasst ;).

(Und ja, meist ist ein Gleichzeichen ausreichend. h-Methode ist zumeist nicht nötig)

 

Grüße

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Unterstützung! Also, muss ich in zukünftig darauf achten, ob der Exponent gerade bzw. ungerade ist, wenn eine Variable wie z.B. x nicht gegen ±∞ strebt. Zur Aufgabe b): Ich habe mich vertippt, die Aufgabe lautet:

$$ \text { b) } \lim _ { y \mapsto - 1 } \frac { 1 } { ( y + 1 ) ^ { 2 } } $$

Also, beidseitiger Grenzwert, da der Exponent gerade ist.

$$ \text { b) } \lim _ { y \mapsto -1 } \frac { 1 } { ( y + 1 ) ^ { 2 } } = \infty $$