Bestimmen Sie die Dichte von |X| und anschließend von X^{2}

Question

Es sei X ∼ N (0, 1) ein standardnormalverteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie die Dichte von |X| und anschließend von \( X^{2} \)

(Beachten Sie, dass \( X^{2}=|X^{2}| \))

Komme da mit dieser Dichte nicht weiter, wisst ihr wie das geht?

Answer 1

Hallo,

die Dichte von \( X \) ist \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left( -\frac{x^2}{2} \right) \).

Die Dichte von \( | X | \) ist \( g(x) = I_{x \geq 0}(x) \cdot 2 f(x) \) mit der Indikatorfunktion \( I(x) \).

Die Dichte \( h(x) \) von \( X^2 \) ist die Dichte von \( |X|^2 \):

\( h(x) = g\left( \sqrt{x} \right) \left| \frac{d}{dx} \sqrt{x} \right| \)
\( =  I_{x \geq 0}\left( \sqrt{x} \right) \cdot 2 f \left( \sqrt{x} \right) \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( = I_{x \geq 0}\left( x \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left( -\frac{x}{2} \right) \frac{1}{\sqrt{x}} \)
\( = I_{x \geq 0}\left( x \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi x}} \exp\left( -\frac{x}{2} \right) \).

Dies ist die Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Chi-Quadrat-Verteilung). Eine Quelle für die Transformationsformel ist https://www.math.arizona.edu/~jwatkins/f-transform.pdf.

Grüße

Mister

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