Aloha :)
Bei der (a) ist das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec w_2\) und \(\vec w_3\) gleich \(\frac{6}{41}\), sodass diese Vektoren nicht senkrecht aufeinander stehen. Mit anderen Worten, das ONS ist falsch. Wir berechnen erst ein Orthogonalsystem und normieren ganz am Ende.$$\vec w_1^\perp=\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$$$$\vec w_2^\perp=\vec v_2-\frac{\vec v_2\cdot\vec w_1}{\left\|w_1\right\|^2}\cdot\vec w_1$$$$\phantom{\vec w_2^\perp}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}-\frac{1}{5}\left[\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}-\frac{5}{5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$$
$$\vec w_3^\perp=\vec v_3-\frac{\vec v_3\cdot\vec w_1}{\left\|\vec w_1\right\|^2}\cdot\vec w_1-\frac{\vec v_3\cdot\vec w_2}{\left\|\vec w_2\right\|^2}\cdot\vec w_2$$$$\phantom{\vec w_3^\perp} =\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{5}\left[\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}-\frac{1}{4}\left[\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec w_3^\perp} =\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}-\frac{0}{5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\frac{4}{4}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$Jetzt normieren wir, um das gesuchte Orthonormalsystem zu erhalten:$$\vec w_1=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_3=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$
Bei der b) musst du ein Gleichungssystem lösen:$$\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}=\frac{\alpha_1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\frac{\alpha_3}{\sqrt5}\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$Wegen der \(y\)-Koordinate ist sofort klar, dass \(\alpha_2=1\) ist. Aus der \(x\)- und \(y\)-Koordinaten erhalten wir das Gleichungssystem für \(\alpha_1\) und \(\alpha_3\):
$$\begin{array}{rrrl}\alpha_1 & \alpha_3 & = & \text{Operation}\\\hline\frac{1}{\sqrt5} & -\frac{2}{\sqrt5} & 2 & \cdot\sqrt5\\\frac{2}{\sqrt5} & \frac{1}{\sqrt5} & 4 & \cdot\sqrt5\\\hline 1 & -2 & 2\sqrt5 & \\2 & 1 & 4\sqrt5 & -2\cdot\text{Zeile }1\\\hline 1 & -2 & 2\sqrt5 & +\frac{2}{5}\cdot\text{Zeile }2\\0 & 5 & 0 & :5\\\hline 1 & 0 & 2\sqrt5 & \\0 & 1 & 0 & \\\hline\end{array}$$Die gesuchte Linearkombination ist daher:$$\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}=\underbrace{2\sqrt5}_{=\alpha_1}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\underbrace{1}_{=\alpha_2}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\underbrace{0}_{=\alpha_3}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$
