Orthonormalbasis aus 3 Vektoren bestimmen (Gram Schmidt Verfahren)

Question

Aufgabe:

a) Errechnen Sie ausgehend von den Vektoren

$$\overrightarrow{v_{1}}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right), \overrightarrow{v_{2}}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), \overrightarrow{v_{3}}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)$$
mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthonormalbasis $\left(\vec{w}_{1}, \vec{w}_{2}, \vec{w}_{3}\right)$
b) Bestimmen Sie für $\vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)$ den Skalar $\alpha_{1}$ der Linearkombination $\vec{x}=\sum \limits_{k=1}^{3} \alpha_{k} \vec{w}_{k}$

Problem/Ansatz:

Die a) glaube ich richtig gelöst zu haben. Die Frage, die ich zu a) habe ist: ist die Schreibweise so Mathematisch gesehen korrekt? Denn es wird sehr gerne in der Klausur Punkte für sowas abgezogen. Und bei der b) weiß ich nicht so ganz wie ich auf den Skalar komme 

Comments

Ich meine w2 und w3 sind gar nicht orthogonal .

Wenn du die w_k alle hast brauchst du sie ( und das x )

doch in deine Gleichung einzusetzen und

bekommst ein lin. Gl.system für a1 , a2 und a3.

Die rechnest du aus (Gauss ! ) und hast das gesuchte a1.

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Hallo

 Dein w3 ist falsch,  ( du kannst auch das Kreuzprodukt von w1 x w2 nehmen für w3) rechne nach, danach setze komponentenweise gleich und du hast ein GS mit den 3 Unbekannten αi

das erst ist als Probe IMMER das Skalarprodukt =0 überprüfen !

Gruß lul

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Oki dankeeee!!

Answer 1

Aloha :)

Bei der (a) ist das Skalarprodukt der Vektoren $\vec w_2$ und $\vec w_3$ gleich $\frac{6}{41}$, sodass diese Vektoren nicht senkrecht aufeinander stehen. Mit anderen Worten, das ONS ist falsch. Wir berechnen erst ein Orthogonalsystem und normieren ganz am Ende.$$\vec w_1^\perp=\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$$$$\vec w_2^\perp=\vec v_2-\frac{\vec v_2\cdot\vec w_1}{\left\|w_1\right\|^2}\cdot\vec w_1$$$$\phantom{\vec w_2^\perp}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}-\frac{1}{5}\left[\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}-\frac{5}{5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$$

$$\vec w_3^\perp=\vec v_3-\frac{\vec v_3\cdot\vec w_1}{\left\|\vec w_1\right\|^2}\cdot\vec w_1-\frac{\vec v_3\cdot\vec w_2}{\left\|\vec w_2\right\|^2}\cdot\vec w_2$$$$\phantom{\vec w_3^\perp} =\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{5}\left[\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}-\frac{1}{4}\left[\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec w_3^\perp} =\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}-\frac{0}{5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\frac{4}{4}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$Jetzt normieren wir, um das gesuchte Orthonormalsystem zu erhalten:$$\vec w_1=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_3=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$

Bei der b) musst du ein Gleichungssystem lösen:$$\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}=\frac{\alpha_1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\frac{\alpha_3}{\sqrt5}\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$Wegen der $y$-Koordinate ist sofort klar, dass $\alpha_2=1$ ist. Aus der $x$- und $y$-Koordinaten erhalten wir das Gleichungssystem für $\alpha_1$ und $\alpha_3$:

$$\begin{array}{rrrl}\alpha_1 & \alpha_3 & = & \text{Operation}\\\hline\frac{1}{\sqrt5} & -\frac{2}{\sqrt5} & 2 & \cdot\sqrt5\\\frac{2}{\sqrt5} & \frac{1}{\sqrt5} & 4 & \cdot\sqrt5\\\hline 1 & -2 & 2\sqrt5 & \\2 & 1 & 4\sqrt5 & -2\cdot\text{Zeile }1\\\hline 1 & -2 & 2\sqrt5 & +\frac{2}{5}\cdot\text{Zeile }2\\0 & 5 & 0 & :5\\\hline 1 & 0 & 2\sqrt5 & \\0 & 1 & 0 & \\\hline\end{array}$$Die gesuchte Linearkombination ist daher:$$\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}=\underbrace{2\sqrt5}_{=\alpha_1}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\underbrace{1}_{=\alpha_2}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\underbrace{0}_{=\alpha_3}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Comments

Dankeeeeeeee