Question

Bestimmen Sie eine zu E orthogonale Gerade g, die den Punkt Q 4|6|3 enthält

Gedanken:

4 6 3 als Stützvektor nehmen

Orthogonal :die Vektoren stehen senkrecht aufeinander; also Skalarprodukt=0

Ebene: [2;2;-1]+r[-2;1;2]+s[2;-1;2]

ich würde jetzt [x;y;z]*[2;-1;2]=[0;0;0] berechnen, damit ich als Produkt eben 0 habe und dann die Kooridnaten bestimmen kann, aber das macht wenig Sinn, da ich dann nur 0 0 0 rausbekommen würde.
Wie kann ich also hier den Richtungsvektor bestimmen?

Answer 1

Aloha :)

Einen Normalenvektor der Ebene erhalten wir mit dem Vektorprodukt:$$\vec n=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-(-2)\\4-(-4)\\2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\8\\0\end{pmatrix}$$Diesen Normalenvektor können wir als Richtungsvektor für die gesuchte Gerade verwenden und entsprechend reskalieren (hier durch 4 dividiert):$$g:\vec x=\begin{pmatrix}4\\6\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$

Answer 2

ich würde jetzt [x;y;z]*[2;-1;2]=[0;0;0]

Verwende das Skalarprodukt, also

        (a₁, a₂, a₃)·(b₁, b₂, b₃) = a₁b₂ + a₂b₂ + a₃b₃.

Damit hast du

        (2, -1, 2)·(x, y, z) = 0

und somit

(1)        2x - 1y + 2z = 0.

(0,0,0) ist eine mögliche Lösung. Es gibt andere Lösungen, zum Beispiel (1, 2, 0) und (0, 2, 1).

Es reicht aber nicht, wenn (x, y, z) orthogonal zu (2, -1, 2) ist. Er muss auch noch orthogonal zum anderen Richtungsvektor sein, also

        (-2, 1, 2)·(x, y, z) = 0

und somit

(2)        -2x + y + 2x = 0

Löse das Gleichungssystem.

Answer 3

Berechne des Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, um den Normalenvektor zu bestimmen. Der ist dann der Richtungsvektor deiner Geraden durch Q.

Gruß, Silvia