Monotonie und Krümmungsverhalten. Stimmt b)?

Question

Hallo, ich bräuchte bei zwei Aufgaben Hilfe.

Gegeben sind die Funktionen a) y= x*e^-x und b) y= 3x^3+3x-6/x

Nun soll ich die Monotonie und das Krümmungsverhalten dieser Funktionen untersuchen, indem ich die Ungleichungen f'(x)<0, f'(x)>0 , f"(x) < 0 , und f"(x) > 0 lösen soll. Zudem soll ich sagen welche Funtkionen umkehrbar sind. Den Maximalen Definitionsbereich soll ich ebenso bestimmen.

Bei b) ist der Definitionsbereich x∈ℝ/ (0)? b) habe ich abgeleitet und bekomme f'(x)=6x^3+6/x^3  raus stimmt das also ist die Funktion Monoton steigend da f'(x)>0 und für die zweite Ableitung habe ich f"(x)36/x^4 raus bekommen also ist die Funktion konvex, da f"(x)>0 ? stimmt das alles oder liege ich komplett falsch

bei a hab ich leider keinen Plan, da ich mich mit der e Funktion nicht gut auskenne. kann mir da jemand helfen?

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Bei b) ist der Definitionsbereich x∈ℝ/ (0)?

Bei b) ist der maximale Definitionsbereich ℝ\{0}.

b) habe ich abgeleitet und bekomme f'(x)=6x³+6/x³  raus

Ableitung von

        \(f(x) = 3x^3 + 3x - \frac{6}{x}\)

ist

        \(f'(x) = 9x^2 + 3 + \frac{6}{x^2}\)

bei a hab ich leider keinen Plan, da ich mich mit der e Funktion nicht gut auskenne.

Zur e-Funktion:

• f(x) = e^x ⇒ f'(x) = e^x.
• Die Funktion ist auf ganz ℝ definiert, streng monoton steigend und hat (0, ∞) als Wertemenge.
  

Der Rest ist Ketten- und Produktregel.

        \(\begin{aligned} &  & y & =xe^{-x}\\ & \implies & \frac{\text{d}y}{\text{d}x} & =1\cdot e^{-x}+xe^{-x}\cdot\left(-1\right)\\ &  &  & =\left(1-x\right)e^{-x}\\ & \implies & \frac{\text{d}^{2}y}{\text{d}x^{2}} & =-1\cdot e^{-x}+\left(1-x\right)e^{-x}\cdot\left(-1\right)\\ &  &  & =\left(x-2\right)e^{-x} \end{aligned}\)

Comments

es tut mir leid das / x war nicht auf die 6 bezogen sondern auf das ganze

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das / x war nicht auf die 6 bezogen sondern auf das ganze

Das drückt man mittels Klammern aus:

        y = (3x³+3x-6)/x.

Fehlen die Klammern, dann greift Punkt- vor Strichrechnung.

Ableitung von

        \(f(x) = \frac{3x^3+3x-6}{x}\)

ist

        \(\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\left(9x^2+3\right)\cdot x-\left(3x^3+3x-6\right)\cdot 1}{x^2}\\&=\frac{6x^3+6}{x^2}\end{aligned}\)