Volumen einer Pyramide mithilfe von Vektorrechnung berechnen

Question

Hallo :) Die Pkt. 0|6|0 6|0|0 und 0|0|12 bilden eine Pyramide mit dem Koordinatenursprung

Ich soll das Volumen berechnen

Gedanken:  V= 1/3 * G * h; g=12; G = Flächeninhalt vom Dreieck(zwischen y und x Achse)
A= 1/2\( \sqrt{\vec{a}^2*\vec{b}^2-(\vec{a}*\vec{b})^2} \) (Formel für Flächeninhalt eines Dreiecks für Vektorrechnung aus dem Buch)

\( \vec{a} \) = [0;6;0]-[6;0;0] = [-6;6;0]; Betrag = 6√2
\( \vec{b} \) =[0;6;0]-[0;0;0]=[0;6;0}; Betrag = 6
A= 1/2 \( \sqrt{(6√2)^2*6^2-(6\sqrt{2}*6)^2} \)
da komme ich auf A=0 und somit auf V=0; gehe also davon aus, dass ich ein Fehler gemacht habe. Ich weiß nicht, ob es ein Denkfehler war, oder Rechenfehler...kann mir jemand bitte helfen? :)

Answer 1

V = 1/3 * G * h

V = 1/3 * (1/2 * 6^2) * 12 = 72 VE

Comments

wie kommt man drauf, dass die Grundfläche 1/2*6^2 ist?

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Die Grundfläche ist ein Halbes Quadrat mit der Seitenlänge 6. Kannst du mal die 3 Punkte der Grundfläche aufzeichnen?

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achso okay ja ich kann's sehen :D Ich hatte die Punkte schon am Anfang gezeichnet, bin so auf der Idee mit dem Dreieck gekommen; ich hatte mir nicht vorgestellt, dass es 1/2 Quadrat ist. Danke :)

Answer 2

Wenn du das Spatprodukt kennst, geht es ganz einfach mit V=1/6*[abc]=72.

Comments

wir haben nie mit dem Spatprodukt gearbeitet :(

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Und wie ist es mit dem Kreuzprodukt?

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Wenn du das Spatprodukt kennst, geht es ganz einfach

Und wenn du es nicht kennst geht es noch schneller.

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das hatten wir bei dem Normalenvektor

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@coach

Da in der Überschrift "mit Hilfe von Vektorrechnung" steht, bin ich davon ausgegangen, dass elementare geometrische Überlegungen nicht ausreichen.