Analysis : Differenzierbarkeit von f auf ganz R

Question

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), die definiert ist durch
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-1 / x} & \text { falls } x>0 \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. $$
Zeigen Sie, dass \( f \) auf ganz \( \mathbb{R} \) differenzierbar ist.

Hinweis: Um Differenzierbarkeit bei 0 zu zeigen, verwenden Sie die Definition über den Differenzenquotienten und führen Sie den Grenzwert auf \( \lim \limits_{z \rightarrow \infty} \frac{z}{e^{2}} \) zurück.

 Wie muss ich hier vorgehen ?

Answer 1

Differenzierbar bei 0

Grenzwert bilden für h gegen 0 von  (f(0+h) - f(0) ) / h

                          = ( e^(-1/h) - 0  )  / h

                             = ( e^(-1/h)  )  / h

                            =   (1 /  e^(1/h) )   * 1 /  h

                           =Für h gegen 0 geht 1/h gegen unendlich (für h>0, für h<0 ist eh alles 0)

                   also ist das der GW für z gegen unendlich von

                         (1 /  e^(z) )   * z  =   z / e^z

und da e^z viel schneller wächst als z ist der Grenzwert 0.

Also f '(0) = 0