Per vollständiger Induktion.
$$ M(a_0,...,a_d) =\begin{pmatrix} 1 & a_0&\dotsm&a_0^d\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&a_d&\dotsm&a_d^d\end{pmatrix}$$
Behauptung: $$\det M(a_0,...,a_d)=\prod_{0\le i<j\le d} (a_j-a_i) $$
IA d=0, klar: det (1) = 1 = leeres Produkt
IS d -> d+1.
Setze: \( g(x):=\det M(a_0,...,a_d,x) \). g ist ein Polynom vom Grad d mit Leitkoeffizient \( \det M(a_0,...,a_d)\) (betrachte Laplace Entwicklung letzte Zeile), \(a_0\) bis \(a_d\) sind Nullstellen (Determinante ist alternierend, bei zwei gleichen Zeilen also gleich 0) von g, das sind d+1 Stück, insbesondere zerfällt g in Linearfaktoren. Damit hat g nach Induktionsvoraussetzung die Form
$$ g = l(g) \prod_{i=0}^d (x-a_i) = \det M(a_0,...,a_d) \prod_{i=0}^d (x-a_i) \stackrel{\text{IV}}{=} \prod_{0\le i<j\le d} (a_j-a_i )\prod_{i=0}^d (x-a_i) $$ Behauptung folgt, da \( \det M(a_0,...,a_{d+1})=g(a_{d+1}) \).
Mit der Determinante ist die eigentliche Aufgabe dann trivial lösbar.
