Berechnung der Wachstumsrate und Höhe (e-Funktion)

Question

Aufgabe:

Die Wachstumsrate einer Tanne in Metern pro Jahr wird durch die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 6x*e^-0,5x beschrieben. Dabei wird x in Jahren gemessen und f(x) in Metern pro Jahr.

A) Berechnen Sie die Höhe der Tanne nach 10 Jahren. Nehmen Sie an, dass die Höhe der Tanne zum Zeitpunkt x=0 einen Meter betrug.

B) Um wie viel m ist die Tanne durchschnittlich pro Jahr gewachsen?

Problem/Ansatz:

A) Ich würde da jetzt einfach f(10) berechnen ?

B) In der Lösung steht:  1/10-0 * (unten 0, oben 10) ∫ f(x) dx = 2,3 m pro Jahr

Bei b stehe ich voll auf den Schlauch. Warum wird da mit Integral gerechnet und was hat es mit dem Bruch vor dem Integral auf sich?

Answer 1

f(x) = 6·x·e^(- 0.5·x)

F(x) = 25 - 12·e^(- x/2)·(x + 2)

A) Berechnen Sie die Höhe der Tanne nach 10 Jahren. Nehmen Sie an, dass die Höhe der Tanne zum Zeitpunkt x=0 einen Meter betrug.

F(10) = 24.03 m

B) Um wie viel m ist die Tanne durchschnittlich pro Jahr gewachsen?

23.03 / 10 = 2.403 m/Jahr

Comments

Danke für die Lösungen! Allerdings ist mir noch nicht ganz klar, warum bei der A aufgeleitet werden muss und bei der B mit Integral gerechnet wird.

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Die Funktion f(x) gibt die Wachstumsrate der Tanne nach x Jahren an und nicht die Höhe der Tanne nach x Jahren.

Was würde denn f(10) ergeben? Als Wachstumsrate ist das eine Einheit von m/Jahr.

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Hallo coach,
Fehlerhinweis ?
nach deiner Berechnung ist
F ( 0 ) = 0 m
Aufgabentext Anfangshöhe 1 m

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Danke georgborn. Hab das gerade verbessert.

Answer 2

Die Wachstumsrate einer Tanne in Metern pro Jahr wird durch die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 6x*e^(-0,5x) beschrieben. Dabei wird x in Jahren gemessen und f(x) in Metern pro Jahr.

Analogie zu Strecke und Geschwindigkeit
s ´= v
Baum
H ist die Höhe in m
f ist die 1.Ableitung oder die Wachstumsrate / Wachstumsgeschwindigkeit in m/Jahr

Um von f auf H zu kommen muß erst einmal die
Stammfunktion gebildet werden
f(x) = 6x*e^-0,5x
S ( x ) = - e ^(-0.5*x)*(12.0*x + 24.0)
S zwischen 0 und x

24.0 - 12.0*x* e ^(-0.5*x) - 24.0* e^(-0.5*x)

H ( 0 ) = 0

Dies widerspricht der angegebenen Ausgangshöhe von 1 m.
Die 1 m muß noch hinzugefügt werden.

H ( x ) = 24.0 - 12.0*x*exp(-0.5*x) - 24.0*exp(-0.5*x) + 1

A) Berechnen Sie die Höhe der Tanne nach 10 Jahren. Nehmen Sie an, dass die Höhe der Tanne zum Zeitpunkt x=0 einen Meter betrug.

H ( 10 ) = ...

B) Um wie viel m ist die Tanne durchschnittlich pro Jahr gewachsen?

[ H (10 ) - H ( 0 ) ] / [ 10 - 0 ]

Frag bitte nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.