Extremwertaufgabe Fußgängertunnel

Question

Aufgabe:

In einem Ort soll ein neuer Fußgängertunnel konzipiert werden. Der Querschnitt des Tunnels soll dabei aus einem Rechteck mit einem aufgesetzten Halbkreis bestehen. Es gelten die Vorgaben, daß der Umfang der Querschnittsfläche 12 m  betragen soll und die Länge g halb so lang sein soll wie der Radius r. Der Tunnel soll zudem 16 m lang werden.

Problem/Ansatz:

a) Stellen sie eine Funktion V auf, welche das Volumen des Fußgängertunnels in Abhängigkeit des Radius r wiedergibt. Hinweis: sie sollten mit π ≈ 3,14 als Zielfunktion die folgende Funktion erhalten: V(r) = 288r - 146,24r²

b)Bestimmen sie die Größen r, g und h so, daß das Tunnelvolumen möglichst groß wird.

c) Paßt ein 2,05m großer Mensch durch den Tunnel, ohne den Kopf einziehen zu müssen?

Comments

Länge g halb so lang sein soll wie der Radius r.

Der Tunnel soll zudem 16 m lang werden.

Daraus entnehme ich:  Länge 16 Meter, Radius doppelt so groß, also 32 Meter. So kommen wir auf einen Kreisdurchmesser von 64 Metern.

In diesem Fall sehe ich da aber keinen Fußgängertunnel mehr, sondern irgendeinen verrückten unterirdischen Bau aus der Nazi-Zeit .....

Die Frage (c) in Bezug auf das Kopf-Einziehen wäre dann jedenfalls geklärt !

Answer 1

12=2r+2b+πr folglich (1) b=6-r-π/2·r
Wenn der Querschnitt A maximal ist, ist auch das Volumen maximal:

(2) A=2r·b+π/2·r².

(1) in (2): A(r)=2r·(6-r-π/2·r)+π/2·r².

Nullstelle der 1. Ableitung bestimmen.

Comments

Es sind in der Aufgabe mehrere Unklarheiten

b)Bestimmen sie die Größen r, g und h so, daß das Tunnelvolumen möglichst groß wird.

die Länge g halb so lang sein soll wie der Radius r

Was genau ist hier g?

Ich vermute Roland kommt auch nicht auf die gewünschte Zielfunktion

V(r) = 288r - 146,24r²

Eventuell kann der Fragesteller mal die exakte Fragestellung mit Skizze zur Verfügung stellen.

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@ Mathecoach. Wegen der Unklarheiten habe ich diese Antwort gegeben. Der FS kann dann (hoffentlich) den Rest selber beantworten.

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Text erkannt:

9

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Der FS kann dann (hoffentlich) den Rest selber beantworten.

Er sollte es zumindest versuchen.

Answer 2

a)
Nebenbedingungen
g = 1/2·r

U = 2·r + 4·g + 2·h + pi·r
U = 2·r + 4·(1/2·r) + 2·h + pi·r
U = 2·h + r·(pi + 4) = 12 → h = (12 - r·(pi + 4))/2

Hauptbedingung
V = 16·((2·r + 2·g)·h + 1/2·pi·r^2)
V = 16·((2·r + 2·(1/2·r))·(12 - r·(pi + 4))/2 + 1/2·pi·r^2)
V = 288·r - 16·r^2·(pi + 6)
V = 288·r - 146.24·r^2