Berechnen sie den Reihenwert mit Hilfe eines geeigneten Integrals :

Question

Aufgabe:

Seien a,b > 0 . Berechnen sie den Reihenwert mit Hilfe eines geeigneten Integrals :

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{an + bk}} \)

Problem/Ansatz:

Ich bin mir relativ sicher, dass die Aufgabe etwas mit Riemann zu tun hat. In der Theorie bin ich soweit, dass ich die gegebene Summe als Riemann-Summe einer geeigneten Funktion und Zerlegung interpretieren muss. Vorausgesetzt meine Gedanken stimmen, weiß ich aber nicht, wie ich das umsetzen muss. Kann mir wer dabei helfen oder zeigen wie ich das anstellen muss ?

Mfg

Comments

Hallo

 was weiss man denn über an  und bk? ohne eine Auskunft darüber weiss man über die Summe nichts.

---

Man weiß lediglich dass a und b größer als 0 sind oder was genau meinst du ? also a und b sind einfach beliebige Zahlen. Es handelt sich dabei nicht um eine Folge, falls du das dachtest

---

Ich seh aber gerade, dass ich mich vertippt habe. Über dem Summenzeichen muss ein n stehen statt dem Unendlich, aber das ändert nichts an der Aufgabe

---

Sollen an und bk Produkte sein?

also    an = a · n   und  bk = b · k    ???

Sowas muss man bei derartigen Aufgaben genau wissen, sonst sind alle Bemühungen für die Katz !

---

Sorry dachte das wäre klar aber ja sind produkte

---

Hallo,

klammere mal n aus, vielleicht siehst Du dann eine Riemann-Summe.

Gruß

---

Ich seh leider beim besten Willen nicht, wie man da ein n ausklammern soll oder wie man da allgemein etwas umformen soll

---

"Sorry dachte das wäre klar aber ja sind Produkte"

In einem solchen Zusammenhang ist das keineswegs selbstverständlich.

an könnte (anstatt das Produkt a·n) eine eigenständige Variable oder aber eine indexierte Variable a_n  sein. Zur Unterscheidung dieser verschiedenen Varianten bietet das Editor-Fenster hier eigentlich perfekte Hilfen zur korrekten Darstellung der Syntax.

---

Hallo,

naja

$$\frac{1}{an+bk}=\frac{1}{n} \frac{1}{a+b\frac{k}{n}}$$

Gruß

---

@ rumar

Es tut mir Leid und ich werde es für die nächsten Male beherzigen :(

@MathePeter

Ja okay das hätte ich doch noch hinbekommen müssen, aber ich verstehe nicht, wie mir diese Umformulierung weiterhelfen soll. Die Brüche mit den n laufen ja gegen unendlich und werden dementsprechend sehr klein also streben gegen 0. Ich hab leider eine böse Denkblokade gerade, denn ich seh immernoch nicht, was das mit Riemann zutun hat und wie ich damit auf den Reihenwert komme /:

---

@x :  Deine Idee ist doch völlig richtig und ergibt  ln ^b√(1+b/a)

PS :  Dein  Es tut mir Leid  ist vollkommen überflüssig.

---

@Gast hj2166

Danke für die Antwort erst Mal, aber das war mir paar Schritte zu schnell. Wie genau kommst du jetzt auf den Wert ? Ich versteh nicht, wie ich von meiner gegebenen Summe zu einem Integral komme

---

1. Schreibe eine Untersumme zu einer monoton fallenden Funktion f in den Grenzen von u bis v hin.

2. Passe f, u, v so an, dass die Summe mit deiner gegebenen übereinstimmt.

3. Berechne das Integral.

4. Schreibe die Lösung hin.

---

Ich grübel schon ne lange Zeit darüber, aber ich komme zu nichts. Es hadert schon beim Finden einer passende Untersumme. Wie genau muss ich denn vorgehen, um diese geschickt zu finden ?

Eine monoton fallende Funktion wäre ja \( \frac{1}{x} \) zum Beispiel

---

 

Text erkannt:

The

Es ist  U_n = f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + f(x₃)·Δx + ... + f(x_n)·Δx  mit  x_k = u + k·Δx  ,  k = 1...n  und Δx = (v - u) / n

U_n = ∑ [k = 1...n] f(u + k·(v-u)/n) · (v-u)/n

Als Funktion f nehmen wir - wie du richtig vermutet hast - die Funktion  f(x) = 1/x  und erhalten

U_n = ∑ [k = 1...n] ( (v-u)/n )  /  (u + k·(v-u)/n)  =  (v-u) ·∑ [k = 1...n]  1 / (u·n + (v-u)·k)

Das ist genau deine Summe für  u = a  und  v-u = b ,  also  U_n = b ·∑ [k = 1...n]  1 / (a·n + b·k)

Weil f für positive x-Werte Riemann-integrierbar ist, gilt weiter

lim_n→∞  U_n  =  _u∫^v f(x) dx   ,  also  b · lim_n→∞ ∑ [k = 1...n]  1 / (a·n + b·k)  =  ln(v) - ln(u) 
und schließlich  lim_n→∞ ∑ [k = 1...n]  1 / (a·n + b·k)  =  1/b · ln (v/u) = 1/b · ln ((b+a)/a)  =  ln ^{b}√(1+b/a)

---

@Gasr hj2166

Ich bedanke mich herzlichst, auch wenn ich leicht verwirrt bin. Ich versuche die ganzen Wege, die mir hier präsentiert werden zu verstehen, aber dadurch dass es alles unterschiedliche Ansätze sind, brauch ich noch. Dennoch danke!

Mfg

Answer 1

Ich habe mal einen Faktor  1 / (a·n)  vor das Summenzeichen gezogen und ferner die Abkürzung  c:= b / (a·n)  eingeführt.

Der dann verbleibende Summenausdruck sieht dann so aus:

∑ [1 / ( 1 + c·k ) , k := 1 to n ]

Nun kann man als näherungsweisen "Ersatz" für diese Summe mal approximierende Integrale betrachten, etwa dieses:

Integral [ 1 / ( 1 + c·x ) dx , x := 0 to n ]

(man behafte mich hier bitte nicht auf Details - was hier allenfalls mit Abrunden und Aufrunden und Monotonieargumenten zu tun hat, überlasse ich euch gerne ...)

Dieses Integral ist leicht zu bestimmen - und man hat damit dann einen approximativen Wert für den Summenterm. Anschließend bleibt dann noch der Limes für  n → ∞  durchzuführen, nachdem man die Rücksubstitution der Hilfsgröße c erledigt hat.

Ich denke, dass das eine ausreichende Skizze für den noch zu vervollständigenden Lösungsweg sein sollte.

Comments

Ich bin dir außerordentlich dankbar. Ich hab das Integral und Rücksubstitution gemacht und komme auf \( \frac{ln(\frac{b}{a} + 1) * an}{b} \) . Aber ich weiß nicht, ob ich verrechnet habe oder wie ich nun n gegen unendlich laufen lasse ?

In meinem Fall läuft es ja gegen 0 aber das kann doch nicht sein?

---

Leider kann ich frühestens morgen weiter schauen ...

Schönen Abend !

Answer 2

Hallo,

ich würde mal da weitermachen , wo der Mathepeter aufgehört hat:

$$\frac{1}{an+bk}=\frac{1}{n} \frac{1}{a+b\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\frac{1}{a} \frac{1}{1+\frac{bk}{an}}$$

Vermutung: Gleichmäßige Zerlegung des Intervalls [0,1] in n Teile. Die Stützstellen lauten dann $$x_k=k/n$$. Die dazugehörige Funktion lautet dann

$$ f(x)= \frac{1}{a} \frac{1}{1+\frac{b}{a}x}$$

Berechne also mal

$$I=\int_{0}^{1}\frac{1}{a(1+\frac{b}{a}x)}dx$$

Comments

Hallo,

es tut mir leid, dass ich jetzt erst antworte, aber wieso wählst du die Grenzen als 0 und 1 bei deinem Integral? Habs ausgerechnet und es stimmt mit einem oben genannten Ergebnis überein, aber ich versteh nicht wieso?

Bei dir kommt auch nirgends limes n gegen unendlich zum Einsatz ? Aber dennoch stimmt dein Resultat

Was bringt mir die Gleichung x_k= k/n ?