Rekursiv defnierte Folge: Bestimmen Sie eine geschlossene Formel für xn.

Question

Seien x₀ = 0, x₁ = 1 und x_n+1 = 2x_n + x_n−1 für n ≥ 1. Bestimmen Sie eine geschlossene Formel für x_n.

Comments

Wo hängt es?

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie eine geschlossene Formel für x n .

Stichworte: anfangswertproblem

Aufgabe:

Seien x 0 = 0, x 1 = 1 und x n+1 = 2x n + x n−1 für n ≥ 1.
Bestimmen Sie eine geschlossene Formel für x n .

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Wie kommt ihr auf die Tags "Anfangswertproblem", "Potenzreihe" etc? Habe nun "rekursiv" ergänzt in Überschrift und Tag. Falls bessere Ideen, bitte kommentieren.

Answer 1

Hallo,

wie das im Prinzip funktioniert steht u.a. hier: https://www.mathelounge.de/601717. Und die konkrete Rechnung für diesen Fall sieht so aus:$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_n\\ x_{n+1} \end{pmatrix} &= A^n \cdot \begin{pmatrix} x_0\\x_1 \end{pmatrix} = A^n \cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}  \\ A &= \begin{pmatrix} 0& 1\\ 1& 2 \end{pmatrix} = SDS^{-1}\\ S &= \begin{pmatrix} -1-\sqrt 2 & -1+\sqrt 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}  \quad | \text{Eigenvektoren von} \space A\\ S^{-1} &= \frac 14 \begin{pmatrix} -\sqrt 2 & 2-\sqrt 2 \\ \sqrt 2 & 2+\sqrt 2 \end{pmatrix} \\ D &= S^{-1}A S = \begin{pmatrix} 1-\sqrt 2 & 0 \\ 0 & 1+\sqrt 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x_n\\ x_{n+1} \end{pmatrix} &= (SDS^{-1})^n \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \\ &= S D^n S^{-1} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1-\sqrt 2 & -1+\sqrt 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (1-\sqrt 2)^n & 0 \\ 0 & (1+\sqrt 2)^n \end{pmatrix} \cdot \frac 14 \begin{pmatrix}  2-\sqrt 2 \\ 2+\sqrt 2 \end{pmatrix} \\ x_n &= \frac 14\left( -(1+\sqrt 2)(1-\sqrt 2)^n(2-\sqrt 2) + (-1 + \sqrt 2)(1+\sqrt 2)^n(2+\sqrt 2)\right) \\ &= \frac 14 \left( - \sqrt 2(1- \sqrt 2)^n + \sqrt 2(1+ \sqrt 2)^n\right) \\ &= \frac {\sqrt 2}4 \left(  (1+ \sqrt 2)^n - (1- \sqrt 2)^n\right) \end{aligned}$$

Answer 2

Hallo,

die Rekursionsvorschrift

\( x_{n+1} = 2 x_n + x_{n-1} \)

mit den Anfangsbedingungen \( x_0 = 0 \) und \( x_1 = 1 \) ist eine lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (vergleiche https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung).

Mit dem Ansatz \( x_n = \lambda^n \) erhält man \( \lambda^2 - 2 \lambda - 1 = 0 \) beziehungsweise

\( \lambda_\pm = 1 \pm \sqrt{2} \).

Wir überlagern diese beiden Lösungen linear (Superposition),

\( x_n = c_+ \lambda_+^n + c_- \lambda_-^n \),

und werten die Anfangsbedingungen aus:

\( x_0 = c_+ \lambda_+^0 + c_- \lambda_-^0 \)
\( = c_+ + c_- = 0 \Rightarrow c_- = - c_+ \),

\( x_1 = c_+ \lambda_+ + c_- \lambda_- \)
\( = c_+ (\lambda_+ - \lambda_-) \)
\( = c_+ 2 \sqrt{2} = 1 \Rightarrow c_+ = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \).

Damit ergibt sich die Lösung

\( x_n = \frac{\lambda_+^n - \lambda_-^n}{2 \sqrt{2}} \)
\( = \frac{(1 + \sqrt{2})^n - (1 - \sqrt{2})^n}{2 \sqrt{2}} \).

Durch Probe der ersten Folgenglieder überzeugt man sich anschaulich von der Richtigkeit dieser Lösung. Man kann die Richtigkeit dieser Lösung aber auch direkt beweisen. Dazu rechnet man zunächst leicht die Gültigkeit der Anfangsbedingungen \( x_0 = 0 \) und \( x_1 = 1 \) nach. Danach findet man durch Einsetzen in die Rekursionsgleichung eine wahre Aussage.

Grüße

Mister