Berechnen Sie das Kurvenintegral

Question

Aufgabe:

Sei F : R^2 → R^2 das Vektorfeld gegeben durch
F(x, y) = (y, x)
(a) Überprüfen Sie, ob F ein Potetial besitzt, und berechnen Sie gegebenenfalls dieses.
(b) Berechnen Sie das Kurvenintegral
wobei
γ(t) = (cosh(t) + sinh(t), cosh(t) − sinh(t)), t ∈ [2019, 2020].

Problem/Ansatz:

Ich bin mir total unschlüssig, wie ich an die Sache heran gehen soll. Wäre cool, wenn jemand das lösen könnte :)

Comments

Hallo,

es gibt (technisch gesehen mindestens) 2 Wege ein Potential zu berechnen (wenn es denn existiert):

- unmittelbar aufgrund der Definition des Potentials (die partiellen Ableitungen ergeben die Komponenten von F

- durch ein einfaches Kurventintegral.

Welche ist Euch nahegelegt worden?

Gruß

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In diesem Fall ist es fast leichter, einfach die Lösung zu raten. Es ist leicht zu sehen, dass \(f(x,y)=xy\).

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Hallo ,

Durch  Kurventintegral.

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Hallo,

f ist also schon geraten.

Sonst hätte man für festes \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) die Kurve \( \gamma\) mit der Parametrisierung \(t \mapsto (tx,ty), t \in [0,1]\) nehmen können und das Potential als Kurvenintegral erhalten:

$$f(x,y)-f(0,0)= \int_{\gamma} F \cdot ds=\int_0^1 (tyx+txy) dt=xy$$

ausrechnen können.

Gruß

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Um deine aufgabe zu verschönen:

Aufgabe:
Sei F : ℝ² → ℝ² das Vektorfeld gegeben durch F(x, y) = (y, x).

(a) Überprüfen Sie, ob F ein Potetial besitzt, und berechnen Sie gegebenenfalls dieses.
(b) Berechnen Sie das Kurvenintegral \( \int\limits_{γ}\) (F, dx)

wobei γ(t) = (cosh(t) + sinh(t), cosh(t) − sinh(t)), t ∈ [2019, 2020].

Viel Erfolg! :D