Asymptote an f(x) = (5x^2-10x-15) / (x^3 - 11x^2 + 24x + 36) rechnerisch bestimmen

Question

Aufgabe:

f(x) = (5x^2-10x-15) / (x^3 - 11x^2 + 24x + 36)

Ich möchte die Asymptote mit Hilfe der Polynomdivison bestimmen

Die Asymptote müsste 0 sein da x^3 > x^2 ist

Nur weiß ich nicht wie ich das hier rechnerisch mache

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Edit: Habe nun die fehlenden Klammern um Zähler und Nenner auch in der Fragestellung ergänzt.

Answer 1

f(x)=(5x²-10x-15) / (x³ - 11x² + 24x + 36) Klammern fehlten?

Das Nennerpolynom hat einen größeren Grad, als das Zählerpolynom, also ist die Asymptote y=0. Wenn man unbedingt rechnen will, kann man mit x³ kürzen und x→±∞ gehen lassen.

Viel wichtiger ist die senkrechte Asyptote an der Polstelle x=6. Dazu muss man zunächst den Funktionsterm kürzen f(x)=5(x-3)/(x²-12x+36) und den Nenner 0 setzen.

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Vielen Dank, hatte es mit der schiefen Asymptote übersehen

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Eine schiefe Asymptote gibt es hier nicht. Nur y=0 und x=6.

Answer 2

f(x) = ( 5x^2-10x-15 ) / ( x^3 - 11x^2 + 24x + 36)
bei lim x -> + ∞ reduziert sich zu
f(x) = ( 5x^2 / ( x^3 ) 
lim x -> + ∞  [ 5x^2 / ( x^3 ]   = 0
Die horizontale Asymptote bei lim x -> + ∞ ist y = 0
dasselbe für lim x -> - ∞

Hinweis :
Es gibt bei dieser Funktion auch noch Polstellen
mit vertikalen Asymptoten.

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Danke auch vielmals

Answer 3

Polynomdivision ist viel zu aufwendig

f(x)=5*x²-10*x-15  Nullstellen x1=-1 und x2=3

g(x)=x³-11*x²+24*x+36 Nullstellen bei x3=-1  und x4=6

Asymptote hat die Form y=f(x)=m*x+b

m=lim f(x)/x mit x→∞  und b=lim(f(x)-m*x)

f(x)=(5*x²-10*x-15)/(x³-11*x²+24*x+36) *1/x=(5*x²-10*x-15)/(x^4-11*x³+24*x²+36*x)  x² ausklammern

lim x²/x²*(5-10/x-15/x²)/(x²-11*x+24+36/x) mit x→∞  =5/(∞²-11*∞+24+0)=5/∞=0

m=0

b=(5-10/x-15/x²)/(x²-11*x+24+36/x)  mit x→∞  b=0

also Asymptote bei y=0

~plot~(5*x^2-10*x-15)/(x^3-11*x^2+24*x+36);[[-1|40|-10|20]]~plot~