Irreduzibel? Ideale finden

Question

Aufgabe: Irreduzibel ja oder nein? Alle Ideale finden.

Problem/Ansatz:

a) Ist 29Z + 13 in Z/29Z irreduzibel? Finde alle Ideale in Z/29Z.

Ich vermute nicht, da ich denke, dass es eine Einheit ist. Ist (29Z +13Z)*(29Z-13)=1

Da alle Ideale in  Z/29Z durch eine Primzahl erzeugt werden, sind die Ideale (2Z, 5Z,7Z, .. bis 29Z) Ist das richtig?

Und hätte ich jetzt 29Z + 14 als Beispiel, ist das dann nicht mehr irreduzibel, da ich 14 ja zerlegen kann?

b) Ist x²-13x in Z[x] irreduzibel? Und in Q[x] ?

Jeweils nicht irreduzibel, da ich zerlegen kann in x(x-13) und das lösbar ist.

Aber was sind jetzt alle Ideale?

Besten Dank für eure Kommentare.

Comments

29 ist doch eine Primzahl. Was weißt du dann über ℤ/29ℤ?

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Ja, ich glaub der Anstoß war gut. Da ℤ/29ℤ ein Körper ist und Körper nur aus Einheiten bestehen, kann 29Z + 13 nur eine Einheit sein, richtig?

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Körper nur aus Einheiten bestehen,

Zumindest bis auf die 0.

Ja 13 + 29ℤ ist eine Einheit. Das Inverse ist aber 9 + 29ℤ nicht -13 + 29ℤ = 16 + 29ℤ.

Weißt du wie die Ideale eines Körpers aussehen?

b) ist richtig

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Okay, da wir ja in einem Körper leben, hab ich das Nullideal und den ganzen Ring als Ideal.

Danke, ich denke die Aufgabe habe ich vollständig verstanden.

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Genau, da liegst du richtig :)

Ist I ein Ideal in ℤ/nℤ so existiert ein k | n (also ein Teiler von n) mit I=(k). Die nichttrivialen Ideale werden also von den Nullteilern erzeugt. Das kannst du dir vielleicht mal als Übungsaufgabe überlegen.